5. Катет прямоугольного треугольника равен 9 см, а гипотенуза и второй катет относятся как 5 : 4. Найдите площадь этого треугольника.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b, а гипотенузу как c. Пусть a = 9 см, c = 5x, b = 4x.

По теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2$$ $$9^2 + (4x)^2 = (5x)^2$$ $$81 + 16x^2 = 25x^2$$ $$9x^2 = 81$$ $$x^2 = 9$$ $$x = 3$$

Тогда:

$$b = 4x = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см}$$ Площадь прямоугольного треугольника:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{108}{2} = 54 \text{ см}^2$$

Ответ: 54 см²