5. Катет TF прямоугольного треугольника FTK с прямым углом F лежит в плоскости β, угол между плоскостями β и FTK равен 45°. Найдите расстояние от точки K до плоскости β, если TK = 10, TF = √2.

Пусть K' - проекция точки K на плоскость β. Тогда KK' - искомое расстояние. Угол между плоскостями β и FTK равен углу K'TF, то есть угол K'TF = 45°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник FTK. По теореме Пифагора:

$$FK^2 + TF^2 = TK^2$$
$$FK^2 + (\sqrt{2})^2 = 10^2$$
$$FK^2 + 2 = 100$$
$$FK^2 = 98$$
$$FK = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник K'FK. Угол между плоскостями FTK и β - это угол между FK и плоскостью β, то есть угол KFK' = 45°.

В прямоугольном треугольнике KK'F:

sin(∠KFK') = \(\frac{KK'}{FK}\)

sin(45°) = \(\frac{KK'}{7\sqrt{2}}\)

$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{KK'}{7\sqrt{2}}$$

$$KK' = \frac{\sqrt{2}}{2} * 7\sqrt{2} = \frac{7*2}{2} = 7$$

Ответ: Расстояние от точки K до плоскости β равно 7.