681) Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3: 4, а ги- потенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Решение: Пусть катеты будут 3x и 4x. Тогда по теореме Пифагора: $$(3x)^2 + (4x)^2 = 50^2$$ $$9x^2 + 16x^2 = 2500$$ $$25x^2 = 2500$$ $$x^2 = 100$$ $$x = 10$$ Следовательно, катеты равны 30 мм и 40 мм. Высота, проведенная к гипотенузе, равна: $$h = \frac{ab}{c} = \frac{30 \cdot 40}{50} = \frac{1200}{50} = 24$$ Обозначим проекции катетов на гипотенузу как $$a_c$$ и $$b_c$$. $$a^2 = a_c \cdot c$$ $$30^2 = a_c \cdot 50$$ $$900 = a_c \cdot 50$$ $$a_c = 18$$ $$b^2 = b_c \cdot c$$ $$40^2 = b_c \cdot 50$$ $$1600 = b_c \cdot 50$$ $$b_c = 32$$ Ответ: Отрезки гипотенузы равны 18 мм и 32 мм.