682 Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5.

1. Пусть катеты равны $$6x$$ и $$5x$$. Обозначим отрезки гипотенузы как $$y$$ и $$y + 11$$. Тогда гипотенуза равна $$2y + 11$$. 2. Используем формулы для проекций катетов на гипотенузу: $$a_c = \frac{a^2}{c}$$ и $$b_c = \frac{b^2}{c}$$. В нашем случае: $$y = \frac{(5x)^2}{2y + 11}$$ и $$y + 11 = \frac{(6x)^2}{2y + 11}$$. 3. Получаем систему уравнений: $$y(2y + 11) = 25x^2$$ и $$(y + 11)(2y + 11) = 36x^2$$. 4. Выразим $$x^2$$ из обоих уравнений: $$x^2 = \frac{y(2y + 11)}{25}$$ и $$x^2 = \frac{(y + 11)(2y + 11)}{36}$$. 5. Приравняем выражения для $$x^2$$: $$\frac{y(2y + 11)}{25} = \frac{(y + 11)(2y + 11)}{36}$$. 6. Упростим уравнение: $$36y(2y + 11) = 25(y + 11)(2y + 11)$$, $$72y^2 + 396y = 25(2y^2 + 33y + 121)$$, $$72y^2 + 396y = 50y^2 + 825y + 3025$$, $$22y^2 - 429y - 3025 = 0$$. 7. Решим квадратное уравнение относительно y. $$D = (-429)^2 - 4 * 22 * (-3025) = 184041 + 266200 = 450241$$. $$y = \frac{429 + \sqrt{450241}}{44} = \frac{429 + 671}{44} = \frac{1100}{44} = 25$$. 8. Тогда гипотенуза равна $$2y + 11 = 2 * 25 + 11 = 61$$ см. Ответ: Гипотенуза равна 61 см.