Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Найдите расстояние от вершины меньшего острого угла треугольника до центра вписанной окружности.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(6\) см и \(8\) см. Гипотенуза:

\[c=\sqrt{6^2+8^2}=10\text{ см}.\]

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника:

\[r=\frac{a+b-c}{2}=\frac{6+8-10}{2}=2\text{ см}.\]

Меньшему острому углу противолежит меньший катет \(6\) см, поэтому его вершина соединена с концами катета длиной \(8\) см и гипотенузой длиной \(10\) см. Центр вписанной окружности находится на расстоянии \(r=2\) см от каждого катета. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный этой вершиной, точкой касания окружности с прилежащим катетом и центром окружности. Один катет равен \(2\) см, второй — расстоянию от вершины до точки касания, то есть \(s-a\), где \(s=12\) см и прилежащий катет \(8\) см:

\[s-8=12-8=4\text{ см}.\]

Тогда искомое расстояние:

\[d=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5\text{ см}.\]

Ответ: \(2\sqrt5\) см.