7 класс Геометрия 1. Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2 раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. 2. Из точки К биссектрисы острого угла проведены перпендикуляры КР и KF к сторонам угла. Докажите, что KP = KF. 2. Постройте равносторонний треугольник, у которого сторона вдвое меньше данного отрезка.

Решение задачи №1:

Пусть один из острых углов равен (x), тогда другой острый угол равен (2x). Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то:

$$x + 2x = 90$$ $$3x = 90$$ $$x = 30$$

Значит, углы треугольника равны 30°, 60° и 90°.

Пусть (a) - меньший катет (лежащий против угла 30°), а (c) - гипотенуза. По условию, (c - a = 15). Известно, что катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть (a = \frac{1}{2}c).

Подставим это выражение в уравнение (c - a = 15):

$$c - \frac{1}{2}c = 15$$ $$\frac{1}{2}c = 15$$ $$c = 30$$

Таким образом, гипотенуза равна 30 см.

Теперь найдем меньший катет:

$$a = \frac{1}{2}c = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15$$

Итак, меньший катет равен 15 см.

Ответ: Гипотенуза равна 30 см, меньший катет равен 15 см.

Решение задачи №2:

Пусть точка (K) лежит на биссектрисе угла (BAC). Проведем перпендикуляры (KP) к стороне (AB) и (KF) к стороне (AC). Рассмотрим треугольники (AKP) и (AKF).

В этих треугольниках:

• (AK) - общая сторона.
• ∠(PAK) = ∠(FAK) (так как (AK) - биссектриса угла (BAC)).
• ∠(APK) = ∠(AFK) = 90° (по условию (KP) и (KF) - перпендикуляры).

Следовательно, треугольники (AKP) и (AKF) равны по гипотенузе и острому углу (угол-катет-угол). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть (KP = KF), что и требовалось доказать.

Решение задачи №3:

Для построения равностороннего треугольника, сторона которого вдвое меньше данного отрезка, нужно:

1. Измерить длину данного отрезка (например, с помощью линейки).
2. Разделить полученную длину на 2.
3. С помощью циркуля построить треугольник с длиной стороны, равной половине данного отрезка. Для этого:
• Начертить отрезок заданной длины (половине данного).
• Раствором циркуля, равным длине этого отрезка, сделать засечки с обоих концов отрезка так, чтобы они пересеклись.
• Соединить точки пересечения засечек с концами отрезка.

Полученный треугольник будет равносторонним, и его сторона будет вдвое меньше данного отрезка.