8 класс Подготовка КР-5 «Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника. Решение прямоугольных треугольников» 1. В треугольнике ABC ∠A = 90°, BC = 25 см, АС = 15 см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg B. 2. Найдите катет ВС прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если AC = 8 cm, tg A = rac{1}{4} 3. Найдите значение выражения cos² 42° + sin² 42° + sin² 30°. 4. Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника. 5. Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и РЕ. Найдите сторону NF, если ЕР = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°.

## Решения задач по тригонометрии **Задача 1** В треугольнике ABC ∠A = 90°, BC = 25 см, AC = 15 см. Найдите: 1) cos C; 2) ctg B. Решение: 1. Найдём AB по теореме Пифагора: $$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$$ см 2. Найдём cos C: $$cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6$$ 3. Найдём ctg B: $$ctg B = \frac{AB}{AC} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$ Ответ: 1) cos C = 0.6; 2) ctg B = 1\frac{1}{3} **Задача 2** Найдите катет BC прямоугольного треугольника ABC (∠C = 90°), если AC = 8 cm, tg A = \frac{1}{4} Решение: 1. В прямоугольном треугольнике тангенс угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC): $$tg A = \frac{BC}{AC}$$ 2. Выразим BC из этой формулы: $$BC = AC * tg A = 8 * \frac{1}{4} = 2$$ см Ответ: BC = 2 см **Задача 3** Найдите значение выражения cos² 42° + sin² 42° + sin² 30°. Решение: 1. Используем основное тригонометрическое тождество: $$cos^2 α + sin^2 α = 1$$ $$cos^2 42° + sin^2 42° = 1$$ 2. Известно, что $$sin 30° = \frac{1}{2}$$, тогда $$sin^2 30° = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$$ 3. Подставим значения в исходное выражение: $$cos^2 42° + sin^2 42° + sin^2 30° = 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$ Ответ: 1.25 **Задача 4** Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, — 8 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла при основании треугольника. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной равнобедренного треугольника. Половина основания равна 12/2 = 6 см. Высота равна 8 см. 2. Найдём боковую сторону (гипотенузу) по теореме Пифагора: $$a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$ см 3. Обозначим угол при основании треугольника как α. 4. Найдём синус угла α: $$sin α = \frac{противолежащий\; катет}{гипотенуза} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$$ 5. Найдём косинус угла α: $$cos α = \frac{прилежащий\; катет}{гипотенуза} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0.6$$ 6. Найдём тангенс угла α: $$tg α = \frac{противолежащий\; катет}{прилежащий\; катет} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$$ 7. Найдём котангенс угла α: $$ctg α = \frac{прилежащий\; катет}{противолежащий\; катет} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0.75$$ Ответ: sin α = 0.8; cos α = 0.6; tg α = 1\frac{1}{3}; ctg α = 0.75 **Задача 5** Высота NE треугольника FNP делит его сторону FP на отрезки FE и РЕ. Найдите сторону NF, если ЕР = 8 см, NP = 17 см, ∠F = 60°. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник NEP. Найдем NE по теореме Пифагора: $$NE = \sqrt{NP^2 - EP^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$ см 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник FNE. Известно, что ∠F = 60°. Тогда: $$sin F = \frac{NE}{NF}$$ $$NF = \frac{NE}{sin F} = \frac{15}{sin 60°} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15 * 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30 * \sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$$ см Ответ: $$NF = 10\sqrt{3}$$ см