7 класс Карточка 1 1. Понятия прямой и отрезка. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 2. Первый признак равенства треугольников. Доказательство. 3. На рисунке ∠1 = 37°, ∠3 = 143°. Докажите, что a || b, и найдите ∠2. 7 класс Карточка 2 1. Луч и угол. Виды углов. 2. Второй признак равенства треугольников. Доказательство. 3. В равнобедренном треугольнике CDE с основанием CE проведена биссектриса CF, Найдите ∠ECF, если ∠D = 54°. 7 класс Карточка 3 1. Сравнение отрезков. Измерение отрезков. 2. Третий признак равенства треугольников. Доказательство. 3. На рисунке a || b, ∠3 = 102°. Найдите остальные семь углов. 7 класс Карточка 4 1. Сравнение углов. Измерение углов. 2. Теорема о свойстве высоты равнобедренного треугольника. Доказательство. 3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Карточка 1, задача 3:

Дано: ∠1 = 37°, ∠3 = 143°

Доказать: a || b

Найти: ∠2

Решение:

Т.к. ∠1 и ∠3 - односторонние углы при прямых a и b и секущей c, и их сумма равна: ∠1 + ∠3 = 37° + 143° = 180°, то по признаку параллельности прямых, прямые a и b параллельны.

∠2 и ∠3 - смежные углы, следовательно, их сумма равна 180°.

$$∠2 + ∠3 = 180°$$

$$∠2 = 180° - ∠3 = 180° - 143° = 37°$$

Ответ: a || b, ∠2 = 37°

Карточка 2, задача 3:

Дано: ΔCDE - равнобедренный, CE - основание, CF - биссектриса, ∠D = 54°

Найти: ∠ECF

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит ∠DCE = ∠DEC.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно:

$$∠D + ∠DCE + ∠DEC = 180°$$

$$∠DCE + ∠DEC = 180° - ∠D = 180° - 54° = 126°$$

Так как ∠DCE = ∠DEC, то:

$$∠DCE = ∠DEC = 126° / 2 = 63°$$

CF - биссектриса угла ∠DCE, значит ∠ECF = ∠DCE / 2.

$$∠ECF = ∠DCE / 2 = 63° / 2 = 31.5°$$

Ответ: ∠ECF = 31.5°

Карточка 3, задача 3:

Дано: a || b, ∠3 = 102°

Найти: остальные семь углов.

Решение:

Т.к. прямые a и b параллельны, то ∠3 = ∠5 = 102° как соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей.

∠3 и ∠1 - смежные углы, значит ∠1 + ∠3 = 180°

$$∠1 = 180° - ∠3 = 180° - 102° = 78°$$

∠1 = ∠2 = 78° как вертикальные углы.

∠5 = ∠7 = 102° как вертикальные углы.

∠5 и ∠6 - смежные углы, значит ∠5 + ∠6 = 180°

$$∠6 = 180° - ∠5 = 180° - 102° = 78°$$

∠6 = ∠4 = 78° как соответственные углы при параллельных прямых a и b и секущей.

∠6 = ∠8 = 78° как вертикальные углы.

Ответ: ∠1 = 78°, ∠2 = 78°, ∠4 = 78°, ∠5 = 102°, ∠6 = 78°, ∠7 = 102°, ∠8 = 78°

Карточка 4, задача 3:

Дано: Прямоугольный треугольник, один из углов 60°, сумма гипотенузы и меньшего катета равна 30 см.

Найти: гипотенузу.

Решение:

Пусть гипотенуза равна c, меньший катет равен a. Тогда по условию c + a = 30.

В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Так как один из углов равен 60°, то второй острый угол равен 30°. Значит меньший катет лежит против угла 30°, следовательно:

$$a = \frac{1}{2}c$$

Подставим это в уравнение c + a = 30:

$$c + \frac{1}{2}c = 30$$

$$\frac{3}{2}c = 30$$

$$c = 30 * \frac{2}{3} = 20$$

Ответ: Гипотенуза равна 20 см.