10) Когда Илья помогал украшать ёлку после проделок Василия, он решил придумать 3 числа, больших 2025, но меньших 2026. После этого он решил усложнить задачу и придумать 3 числа, больших \frac{1}{2025} и меньших \frac{1}{2026}. Удалось ли Илье решить обе придуманные задачи? Обоснуйте свой ответ

Первая задача: придумать 3 числа, больших 2025, но меньших 2026.

Так как между двумя последовательными целыми числами всегда можно найти бесконечно много дробных чисел, то Илье удалось решить первую задачу. Например, 2025,2; 2025,4; 2025,6.

Вторая задача: придумать 3 числа, больших \(\frac{1}{2025}\) и меньших \(\frac{1}{2026}\).

Рассуждения:

Предположим, что Илье удалось решить эту задачу. Числа \(\frac{1}{2025}\) и \(\frac{1}{2026}\) являются положительными и находятся между 0 и 1. Значит, \(\frac{1}{2025}\) > \(\frac{1}{2026}\), так как чем больше знаменатель, тем меньше значение дроби при одинаковом числителе.

Найти три числа между \(\frac{1}{2025}\) и \(\frac{1}{2026}\) возможно, так как между любыми двумя различными числами можно найти бесконечно много других чисел. Например, можно найти среднее арифметическое этих чисел и взять числа, немного отличающиеся от него.

Пример чисел: \(\frac{1}{2025.2}\), \(\frac{1}{2025.4}\), \(\frac{1}{2025.6}\).

Ответ: Да, Илье удалось решить обе придуманные задачи, так как между любыми двумя различными числами можно найти бесконечно много других чисел.