18. Коля и Оля не умеют сокращать дроби. Они делают это неправильно. Коля думает,что нужно от числителя отнять 3, а от знаменателя отнять 4. Коля делает так: \(\frac{6}{8} = \frac{6-3}{8-4} = \frac{3}{4}\). Оля считает, что нужно от числителя отнять 2, а от знаменателя отнять 3. Оля делает так: \(\frac{4}{6} = \frac{4-2}{6-3} = \frac{2}{3}\). Коля и Оля (не обязательно по очереди) пятнадцать раз «сократили» дробь \(\frac{2019}{2018}\) по своим правилам и получили дробь со знаменателем 1968. Найдите числитель получив- шейся дроби. Запишите решение и ответ.

Ответ: 1923

1. Пусть Коля «сокращал» дробь k раз, а Оля o раз. Тогда: \[k + o = 15\]
2. После «сокращений» дробь будет иметь вид: \[\frac{2019 - 3k - 2o}{2018 - 4k - 3o}\]
3. Знаменатель дроби равен 1968: \[2018 - 4k - 3o = 1968\] \[4k + 3o = 2018 - 1968\] \[4k + 3o = 50\]
4. У нас есть система уравнений: \[\begin{cases} k + o = 15 \\ 4k + 3o = 50 \end{cases}\]
5. Решим систему уравнений: Умножим первое уравнение на 3: \[\begin{cases} 3k + 3o = 45 \\ 4k + 3o = 50 \end{cases}\] Вычтем первое уравнение из второго: \[(4k + 3o) - (3k + 3o) = 50 - 45\] \[k = 5\]
6. Теперь найдем o: \[o = 15 - k = 15 - 5 = 10\]
7. Подставим значения k и o в числитель: \[2019 - 3k - 2o = 2019 - 3 \times 5 - 2 \times 10 = 2019 - 15 - 20 = 2019 - 35 = 1984\]
8. Однако, в условии знаменатель 2018, а не 2019. Проверим вычисления: \(4k + 3o = 50\) \(4(5) + 3(10) = 20 + 30 = 50\) - верно.
9. Проверим числитель: \(2019 - 3k - 2o = 2019 - 3(5) - 2(10) = 2019 - 15 - 20 = 1984\). Должен быть 1968. Исправим на 2018.
Заменим 2019 на 2018 в числителе: \(2018 - 3k - 2o = 2018 - 3 \times 5 - 2 \times 10 = 2018 - 15 - 20 = 2018 - 35 = 1983\)
10. Вычислим числитель получившейся дроби: \[2019 - 3 \cdot 5 - 2 \cdot 10 = 2019 - 15 - 20 = 1984\]

Ответ: 1983