14. Коля играет в компьютерную игру. Он начинает с 0 очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 50000 очков. После первой минуты игры добавляется 2 очка, после второй 4 очка, после третьей восемь очков и так далее. Таким образом, после каждой следующей минуты игры количество добавляемых очков удваивается. Через сколько минут Коля перейдет на следующий уровень? Ответ:

Пусть n - количество минут, необходимых Коле для перехода на следующий уровень. Тогда общее количество очков, набранных Колей, можно выразить как сумму геометрической прогрессии:

$$S_n = 2 + 4 + 8 + ... + 2^n$$

Сумма геометрической прогрессии:

$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

В нашем случае b₁ = 2, q = 2.

$$S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1)$$

Для перехода на следующий уровень Коля должен набрать не менее 50000 очков, то есть:

$$2(2^n - 1) \ge 50000$$

$$2^n - 1 \ge 25000$$

$$2^n \ge 25001$$

Найдем наименьшее целое n, удовлетворяющее этому неравенству. Начнем с небольших значений n:

• n = 10: 2¹⁰ = 1024
• n = 11: 2¹¹ = 2048
• n = 12: 2¹² = 4096
• n = 13: 2¹³ = 8192
• n = 14: 2¹⁴ = 16384
• n = 15: 2¹⁵ = 32768

При n = 15, 2¹⁵ = 32768 > 25001.

Следовательно, Коля перейдет на следующий уровень через 15 минут.

Ответ: 15