17) Коля задумал двузначное число. Затем он нашёл сумму цифр этого числа и произведение цифр этого числа, записал сумму и произведение рядом в каком-то порядке, и получилось число 1235. Какое число задумал Коля? Найдите все варианты и докажите, что других нет. Объясните решение.

Пусть задуманное число имеет вид \(\overline{ab}\), где \(a\) и \(b\) - цифры, то есть целые числа от 0 до 9, причём \(a
eq 0\). Коля вычислил сумму цифр \(a + b\) и произведение цифр \(a \cdot b\). Затем он записал эти два числа рядом, и получилось 1235. Это означает, что либо \(a + b = 12\) и \(a \cdot b = 35\), либо \(a + b = 123\) и \(a \cdot b = 5\), либо \(a + b = 1235\) (чего не может быть, так как сумма двух цифр не может быть больше 18), либо \(a \cdot b = 12\) и \(a + b = 35\), либо \(a \cdot b = 123\) и \(a + b = 5\), либо \(a \cdot b = 1235\) (чего тоже не может быть, так как произведение двух цифр не может быть больше 81). Рассмотрим первый случай: \[\begin{cases} a + b = 12 \\ a \cdot b = 35 \end{cases}\] Выразим (a) через (b) из первого уравнения: (a = 12 - b). Подставим это во второе уравнение: ((12 - b) \cdot b = 35), то есть (12b - b^2 = 35), или (b^2 - 12b + 35 = 0). Решим квадратное уравнение относительно (b): \[D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4\] \[b_1 = \frac{12 + \sqrt{4}}{2} = \frac{12 + 2}{2} = 7\] \[b_2 = \frac{12 - \sqrt{4}}{2} = \frac{12 - 2}{2} = 5\] Если (b = 7), то (a = 12 - 7 = 5). Если (b = 5), то (a = 12 - 5 = 7). Таким образом, мы нашли два числа: 57 и 75. Сумма цифр числа 57 равна 12, а произведение цифр равно 35. Записав их рядом, мы получим 1235. То же самое верно и для числа 75. Рассмотрим второй случай: \[\begin{cases} a \cdot b = 12 \\ a + b = 35 \end{cases}\] Сумма двух цифр не может быть равна 35, так как максимально возможная сумма равна 18 (9 + 9). Следовательно, этот случай не имеет решений. Ответ: Коля задумал число 57 или 75.