10. Кондитер испек 35 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 20 рогаликов посыпал сахарной пудрой. Некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1) Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15. 2) Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры. 3) Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14. 4) Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

Обозначим:

* $$G$$ - множество рогаликов с глазурью, $$|G| = 10$$
* $$P$$ - множество рогаликов с сахарной пудрой, $$|P| = 20$$
* Всего рогаликов 35.

Пусть $$x$$ - количество рогаликов и с глазурью, и с пудрой, т.е. $$|G \cap P| = x$$. Тогда:

* Рогаликов только с глазурью: $$10 - x$$
* Рогаликов только с пудрой: $$20 - x$$
* Рогаликов без глазури и пудры: $$35 - (10 - x) - (20 - x) - x = 35 - 10 + x - 20 + x - x = 5 + x$$

Теперь рассмотрим каждое утверждение:

1) Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15.
Количество рогаликов без глазури и пудры равно $$5+x$$. Чтобы проверить это утверждение, допустим, что $$5+x > 15$$, тогда $$x > 10$$. Но всего рогаликов с глазурью 10, то есть $$x$$ не может быть больше 10. Максимальное значение $$x = 10$$, тогда $$5 + 10 = 15$$. Следовательно, $$5 + x \le 15$$, и утверждение верно.

2) Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.
Количество рогаликов без глазури и пудры равно $$5 + x$$. Если $$x = 0$$, то таких рогаликов ровно 5. Но $$x$$ может быть и больше нуля, тогда таких рогаликов больше 5. Утверждение может быть верным, а может и нет, поэтому оно не всегда верно.

3) Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14.
$$x$$ - количество рогаликов и с глазурью, и с пудрой. Всего рогаликов с глазурью 10, значит, $$x \le 10$$. Следовательно, это утверждение неверно.

4) Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.
$$x$$ - количество рогаликов и с глазурью, и с пудрой. Как мы уже выяснили, $$x \le 10$$. Следовательно, не может найтись 12 рогаликов. Это утверждение неверно.

Таким образом, верным является только утверждение 1.

Ответ: **1**