Контрольная работа № 2 (1 ч) Вариант 1 1. На рисунке 35 отрезки АВ и CD имеют общую середину О. Докажите, что ∠DAO=∠CBO. 2. Луч AD — биссектриса угла A. На сторонах угла А отмечены точки В и С так, что ∠ADB=∠ADC. Докажите, что AB=AC. 3. Начертите равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану BB₁ к боковой стороне AC.

1.

Необходимо доказать, что углы DAO и CBO равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники DAO и CBO:

AO = OB (т.к. O - середина AB по условию)

CO = OD (т.к. O - середина CD по условию)

∠AOD = ∠COB (как вертикальные)

Следовательно, ΔDAO = ΔCBO (по первому признаку равенства треугольников - по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠DAO = ∠CBO.

Что и требовалось доказать.

2.

Необходимо доказать, что AB = AC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ADB и ADC:

AD - общая сторона.

∠ADB = ∠ADC (по условию)

∠BAD = ∠CAD (т.к. AD - биссектриса угла A)

Следовательно, ΔADB = ΔADC (по второму признаку равенства треугольников - по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB = AC.

Что и требовалось доказать.

3.

Построение:

      A
     / \
    /   \
   /     \
  B-------C
  |       |
  |       |
  B₁      

1. Строим равнобедренный треугольник ABC с основанием BC.

2. Находим середину стороны AC (точка B₁).

3. Соединяем точку B и точку B₁.

BB₁ - медиана, проведённая к боковой стороне AC.

Ответ: смотри решение.