Контрольная работа № 2 «Площади» 8 класс B-2 1. Стороны параллелограмма равны 8 см и 5 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь параллелограмма. 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15 см, один из катетов равен 9 см. Найдите второй катет. 3. Высота трапеции равна 7 см, а одно из оснований в 5 раз больше другого. Найдите основания трапеции, если ее площадь равна 84 см². 4. Найдите высоту треугольника, если она в 4 раза больше стороны к которой проведена, а площадь треугольника равна 72 см². 5. Периметр параллелограмма равен 36 см. Найдите площадь параллелограмма, если один из углов на 60° меньше прямого, а высота равна 6 см.

Решение: 1. Площадь параллелограмма равна произведению двух сторон на синус угла между ними: ( S = a cdot b cdot sin(alpha) ). В данном случае, ( a = 8 ) см, ( b = 5 ) см, ( alpha = 30^circ ). Синус 30 градусов равен 0.5. ( S = 8 cdot 5 cdot sin(30^circ) = 8 cdot 5 cdot 0.5 = 40 cdot 0.5 = 20 ) см². **Ответ: 20 см²** 2. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: ( c^2 = a^2 + b^2 ). Где c - гипотенуза, a и b - катеты. В данном случае, ( c = 15 ) см, ( a = 9 ) см. Нужно найти ( b ). ( 15^2 = 9^2 + b^2 ) ( 225 = 81 + b^2 ) ( b^2 = 225 - 81 = 144 ) ( b = sqrt{144} = 12 ) см. **Ответ: 12 см** 3. Пусть одно основание трапеции равно ( x ) см, тогда другое основание равно ( 5x ) см. Высота трапеции ( h = 7 ) см, а площадь ( S = 84 ) см². Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: ( S = rac{(a + b) cdot h}{2} ). ( 84 = rac{(x + 5x) cdot 7}{2} ) ( 84 = rac{6x cdot 7}{2} ) ( 84 = 21x ) ( x = rac{84}{21} = 4 ) см. Тогда одно основание равно 4 см, а другое ( 5 cdot 4 = 20 ) см. **Ответ: 4 см и 20 см** 4. Пусть сторона треугольника, к которой проведена высота, равна ( a ) см. Тогда высота равна ( 4a ) см. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: ( S = rac{1}{2} cdot a cdot h ). ( 72 = rac{1}{2} cdot a cdot 4a ) ( 72 = 2a^2 ) ( a^2 = rac{72}{2} = 36 ) ( a = sqrt{36} = 6 ) см. Высота равна ( 4 cdot 6 = 24 ) см. **Ответ: 24 см** 5. Пусть стороны параллелограмма равны ( a ) и ( b ). Периметр параллелограмма равен ( 2(a + b) = 36 ) см. Значит, ( a + b = 18 ) см. Один из углов на 60° меньше прямого, то есть равен ( 90^circ - 60^circ = 30^circ ). Высота, проведенная к большей стороне, равна 6 см. Площадь параллелограмма ( S = a cdot h ), где h - высота. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и меньшей стороной. ( sin(30^circ) = rac{h}{b} = rac{6}{b} ). Так как ( sin(30^circ) = 0.5 ), то ( 0.5 = rac{6}{b} ), значит, ( b = rac{6}{0.5} = 12 ) см. Тогда ( a = 18 - b = 18 - 12 = 6 ) см. Площадь параллелограмма ( S = a cdot h = 6 cdot 6 = 36 ) см². **Ответ: 36 см²**