Контрольная работа № 4 по теме «Декартовы координаты на плоскости» Вариант І. Часть А (запишите только ответ)

Давайте решим задачи из контрольной работы. **Часть A** **1. Найди координаты середины отрезка AB, если A(6; -7), B(4; 5).** Координаты середины отрезка находятся по формуле: \[M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\] Подставляем координаты точек A и B: \[M = \left(\frac{6 + 4}{2}, \frac{-7 + 5}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (5, -1)\] **Ответ:** (5, -1) **2. Точка O – середина отрезка AC. Найди координаты точки A, если C(4; -3), а O(2; 4).** Обозначим координаты точки A как (x, y). Тогда: \[O = \left(\frac{x + x_C}{2}, \frac{y + y_C}{2}\right)\] Подставляем известные координаты: \[(2, 4) = \left(\frac{x + 4}{2}, \frac{y - 3}{2}\right)\] Решаем уравнения: \[\frac{x + 4}{2} = 2 \Rightarrow x + 4 = 4 \Rightarrow x = 0\] \[\frac{y - 3}{2} = 4 \Rightarrow y - 3 = 8 \Rightarrow y = 11\] **Ответ:** (0, 11) **3. Найди расстояние между точками M и N, если M(8; -7), a N(11; -3).** Расстояние между двумя точками находится по формуле: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Подставляем координаты точек M и N: \[d = \sqrt{(11 - 8)^2 + (-3 - (-7))^2} = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\] **Ответ:** 5 **4. Определи по уравнению окружности координаты её центра и радиус (x - 3)² + (y - 5)² = 25.** Уравнение окружности имеет вид: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\] где (a, b) – координаты центра, R – радиус. Сравнивая с данным уравнением, получаем: Центр: (3, 5) Радиус: R = \sqrt{25} = 5 **Ответ:** Центр (3, 5), радиус 5. **5. Найди координаты точек пересечения прямых 4x - 2y = 0 и -x + 2y = 12.** Решим систему уравнений: 1) \(4x - 2y = 0\) 2) \(-x + 2y = 12\) Из первого уравнения выразим \(y\): \(2y = 4x \Rightarrow y = 2x\). Подставим во второе уравнение: \(-x + 2(2x) = 12 \Rightarrow -x + 4x = 12 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4\). Теперь найдем \(y\): \(y = 2x = 2(4) = 8\). **Ответ:** (4, 8) **Часть B (запишите решение и ответ)** **6. Составьте уравнение окружности с центром в точке O(-2; 1), проходящей через точку T(2; -6).** Радиус окружности равен расстоянию между центром O и точкой T: \[R = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-6 - 1)^2} = \sqrt{(4)^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}\] Уравнение окружности: \[(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{65})^2\] \[(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 65\] **Ответ:** \((x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 65\) **7. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку M(2; -3) и параллельна прямой y = -3x + 1.** Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент. Значит, уравнение прямой будет вида: \[y = -3x + b\] Подставляем координаты точки M(2; -3): \[-3 = -3(2) + b \Rightarrow -3 = -6 + b \Rightarrow b = 3\] **Ответ:** \(y = -3x + 3\) **Часть C (запишите дано, полное решение и ответ)** **8. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой y = 4x - 5 и проходит через центр окружности \(x^2 - 8x + y^2 + 10y - 40 = 0\).** Сначала найдем центр окружности. Преобразуем уравнение окружности: \[(x^2 - 8x) + (y^2 + 10y) = 40\] \[(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = 40 + 16 + 25\] \[(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 81\] Центр окружности: (4, -5). Параллельная прямая имеет вид \(y = 4x + b\). Подставляем координаты центра (4, -5): \[-5 = 4(4) + b \Rightarrow -5 = 16 + b \Rightarrow b = -21\] **Ответ:** \(y = 4x - 21\)