Контрольная работа № 4 по теме «Окружность и круг. Геометрические построения». Вариант 1. 1. На рисунке 62 точка O – центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC. 2. К окружности с центром O проведена касательная CD (D – точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO = 30°. 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD. 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней. 5. Даны окружность и две точки вне её. Найдите на окружности точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?

Рассмотрим задачи из контрольной работы № 4 по теме «Окружность и круг. Геометрические построения».

1. Задача 1: На рисунке 62 точка O – центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC.

   Решение:

   Угол AOC - центральный угол, опирающийся на дугу AC. Угол ABC - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу AC. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно:

   $$∠AOC = 2 * ∠ABC = 2 * 28° = 56°$$

   Ответ: ∠AOC = 56°

2. Задача 2: К окружности с центром O проведена касательная CD (D – точка касания). Найдите отрезок OC, если радиус окружности равен 6 см и ∠DCO = 30°.

   Решение:

   Так как CD - касательная, то OD перпендикулярна CD (OD - радиус, проведённый в точку касания). Треугольник ODC - прямоугольный, ∠ODC = 90°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ODC. Известно, что OD = 6 см (радиус) и ∠DCO = 30°. В прямоугольном треугольнике против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. В нашем случае OD - катет, лежащий против угла ∠DCO = 30°, а OC - гипотенуза. Следовательно:

   $$OD = \frac{1}{2} OC$$ $$OC = 2 * OD = 2 * 6 = 12 \text{ см}$$

   Ответ: OC = 12 см

3. Задача 3: В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что ∠BAC = ∠BAD (рис. 63). Докажите, что AC = AD.

   Решение:

   Так как AB - диаметр, то углы ACB и ADB - прямые, так как опираются на диаметр. Рассмотрим треугольники ABC и ABD. У них AB - общая сторона, ∠BAC = ∠BAD (по условию), ∠ACB = ∠ADB = 90°. Следовательно, треугольники ABC и ABD равны по стороне (AB) и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC = AD.

   Что и требовалось доказать.

4. Задача 4: Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней.

   Решение:

   Для решения этой задачи необходимо выполнить построение циркулем и линейкой, которое сложно описать в текстовом формате. Общая идея заключается в построении окружности с центром в точке, лежащей на серединном перпендикуляре к боковой стороне, и радиусом, равным медиане.

5. Задача 5: Даны окружность и две точки вне её. Найдите на окружности точку, равноудалённую от этих двух точек. Сколько решений может иметь задача?

   Решение:

   Геометрическое место точек, равноудалённых от двух данных точек, - это серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Таким образом, чтобы найти точку на окружности, равноудалённую от двух данных точек вне её, нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Точки пересечения этого серединного перпендикуляра с окружностью и будут искомыми. Серединный перпендикуляр может пересекать окружность в двух точках, в одной точке (касаться) или не пересекать её вовсе. Следовательно, задача может иметь два решения, одно решение или не иметь решений.

   Ответ: Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.