Контрольная работа № 5 по теме: «Окружность» Вариант 2 1. Хорды окружности АВ и СР пересекаются в точке Е. Найти длину отрезка РЕ и СЕ, если СР= 12см, АЕ=7см, ЕВ = 4 см. 2. Дана окружность с центром в точке О. АВ –диаметр, точка С отмечена на окружности, угол А равен 41° . Найдите угол С и угол В. 3. АВ и АС – отрезки касательных, проведенных к окружности радиуса 6 см. Найдите длину ОА И АС, если АВ = 8см. 4. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АМВ и АСВ так, что дуга АСВ на 70° меньше дуги АМВ. АМ – диаметр окружности. Найдите углы АМВ, АВМ, АСВ. 5. Найдите ∠KOM, если градусные меры дуг КО и ОМ равны 112° и 150° соответственно

Для решения задачи 1 воспользуемся свойством пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. В нашем случае это означает, что AE * EB = PE * EC. Мы знаем, что AE = 7 см, EB = 4 см, и CP = 12 см. Пусть PE = x, тогда EC = 12 - x. Подставим известные значения в уравнение:

Решим квадратное уравнение. Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 1 * 28 = 144 - 112 = 32.

Тогда корни уравнения:

Таким образом, PE может быть равно либо $$6 + 2\sqrt{2}$$, либо $$6 - 2\sqrt{2}$$. Тогда EC будет равно соответственно $$12 - (6 + 2\sqrt{2}) = 6 - 2\sqrt{2}$$ или $$12 - (6 - 2\sqrt{2}) = 6 + 2\sqrt{2}$$.

Ответ: PE = $$6 + 2\sqrt{2}$$ см или $$6 - 2\sqrt{2}$$ см, EC = $$6 - 2\sqrt{2}$$ см или $$6 + 2\sqrt{2}$$ см.

Для решения задачи 2, так как AB - диаметр, то угол ACB = 90° (угол, опирающийся на диаметр). Угол A дан и равен 41°. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°, поэтому угол B = 180° - 90° - 41° = 49°.

Ответ: Угол C = 90°, угол B = 49°.

Для решения задачи 3, рассмотрим прямоугольный треугольник OAB, где OB - радиус окружности (6 см), AB - отрезок касательной (8 см), и OA - гипотенуза. По теореме Пифагора, OA^2 = OB^2 + AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100. Следовательно, OA = 10 см.

Так как AC также является касательной, то AC = AB = 8 см (отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны).

Ответ: OA = 10 см, AC = 8 см.

Для решения задачи 4, пусть длина дуги ACB равна x, тогда длина дуги AMB равна x + 70°. Так как дуги ACB и AMB вместе составляют полную окружность, то x + x + 70° = 360°. Отсюда, 2x = 290°, и x = 145°.

Тогда дуга AMB равна 145° + 70° = 215°.

Угол AMB опирается на дугу AB, которая равна 360° - 215° = 145°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, угол AMB = 145°/2 = 72.5°.

Угол ABM опирается на диаметр AM, значит, угол ABM = 90°.

Угол ACB опирается на дугу AB, которая равна 145°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит, угол ACB = 215°/2 = 107.5°.

Ответ: Угол AMB = 72.5°, угол ABM = 90°, угол ACB = 107.5°.

Для решения задачи 5, если градусные меры дуг KO и OM равны 112° и 150° соответственно, то градусная мера дуги KM равна сумме градусных мер дуг KO и OM, то есть 112° + 150° = 262°.

Центральный угол KOM равен градусной мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, угол KOM = 262°.

Ответ: ∠KOM = 262°.