Решение задач по геометрии

Задача 1

Дано: Окружность с центром O, AB - диаметр, точка C лежит на окружности, ∠A = 47°.

Найти: ∠C и ∠B.

Решение:

1. Т.к. AB - диаметр, то ∠ACB - прямой (опирается на диаметр), значит, ∠ACB = 90°.
2. В треугольнике ABC сумма углов равна 180°, значит, ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 47° - 90° = 43°.
3. ∠C = 90°.

Ответ: ∠C = 90°, ∠B = 43°

Задача 2

Дано: Окружность радиуса 6 см, AB и AC - касательные, AB = 8 см.

Найти: OA и AC.

Решение:

1. Т.к. AB - касательная к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, ∠OBA = 90°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. По теореме Пифагора: OA² = OB² + AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Следовательно, OA = √100 = 10 см.
3. Т.к. AB и AC - касательные, проведенные из одной точки, то отрезки касательных равны: AB = AC = 8 см.

Ответ: OA = 10 см, AC = 8 см

Задача 3

Дано: Точки A и B делят окружность с центром O на дуги AMB и ACB, дуга ACB на 80° меньше дуги AMB, AM - диаметр.

Найти: ∠AMB, ∠ABM, ∠ACB.

Решение:

1. Пусть дуга ACB = x, тогда дуга AMB = x + 80°.
2. Т.к. вместе дуги ACB и AMB составляют полную окружность, то x + (x + 80°) = 360°, 2x + 80° = 360°, 2x = 280°, x = 140°. Значит, дуга ACB = 140°, а дуга AMB = 220°.
3. ∠AMB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Дуга AB = 360 - дуга AMB = 360 - 220 = 140. Значит, градусная мера вписанного угла AMB равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠AMB = 140/2= 70°
4. AM - диаметр, значит, ∠ABM = 90°.
5. ∠ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, ∠ACB = 220/2 = 110°

Ответ: ∠AMB = 70°, ∠ABM = 90°, ∠ACB = 110°

Задача 4

Дано: Треугольник со сторонами 16 см, 17 см и 17 см.

Найти: Радиус вписанной и описанной окружностей.

Решение:

1. Это равнобедренный треугольник. Найдем полупериметр: p = (16 + 17 + 17) / 2 = 25 см.
2. Найдем площадь треугольника по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{25(25-16)(25-17)(25-17)} = \sqrt{25 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 8} = 5 \cdot 3 \cdot 8 = 120 \text{ см}^2.$$
3. Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{S}{p} = \frac{120}{25} = 4.8 \text{ см}.$$
4. Радиус описанной окружности: $$R = \frac{abc}{4S} = \frac{16 \cdot 17 \cdot 17}{4 \cdot 120} = \frac{16 \cdot 289}{480} = \frac{4624}{480} = \frac{289}{30} \approx 9.63 \text{ см}.$$

Ответ: Радиус вписанной окружности равен 4.8 см, радиус описанной окружности равен ≈ 9.63 см