Контрольная работа № 3 по теме: «Соотношения между сторонами и углами треугольника». Вариант II 1. B \(\triangle ABC\) \(AB < BC < AC\). Найдите \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\), если известно, что один из углов треугольника прямой, а другой равен 30°. 2. В треугольнике ABC угол A равен 90°, а угол C на 40° больше угла B. Найдите углы B и C. 3. В треугольнике ABC \(\angle C=90°\), \(CC_1\) - высота, \(CC_1 = 5\) см, \(BC = 10\) см. Найдите \(\angle CAB\).

Решение: **Задача 1:** В треугольнике \(\triangle ABC\) известно, что \(AB < BC < AC\). Это означает, что против меньшей стороны лежит меньший угол. Также, один из углов прямой, то есть равен 90°, а другой равен 30°. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, можем найти третий угол: \[180° - 90° - 30° = 60°\] Таким образом, углы треугольника равны 30°, 60° и 90°. Поскольку против большей стороны лежит больший угол, то имеем: * \(\angle A = 90°\) (против стороны BC) * \(\angle B = 60°\) (против стороны AC) * \(\angle C = 30°\) (против стороны AB) **Задача 2:** В треугольнике \(\triangle ABC\), \(\angle A = 90°\) и \(\angle C = \angle B + 40°\). Используем тот факт, что сумма углов в треугольнике равна 180°: \[\angle A + \angle B + \angle C = 180°\] Подставляем известные значения: \[90° + \angle B + (\angle B + 40°) = 180°\] Упрощаем уравнение: \[2\angle B + 130° = 180°\] \[2\angle B = 50°\] \[\angle B = 25°\] Теперь находим \(\angle C\): \[\angle C = \angle B + 40° = 25° + 40° = 65°\] Ответ: \(\angle B = 25°\), \(\angle C = 65°\). **Задача 3:** В треугольнике \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90°\), \(CC_1\) - высота, \(CC_1 = 5\) см, \(BC = 10\) см. Необходимо найти \(\angle CAB\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle CC_1B\). В нем известны катет \(CC_1 = 5\) см и гипотенуза \(BC = 10\) см. Заметим, что катет \(CC_1\) в два раза меньше гипотенузы \(BC\). В прямоугольном треугольнике, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Следовательно, \(\angle CBC_1 = 30°\). Так как \(CC_1\) - высота, то \(\angle CC_1B = 90°\). Угол \(\angle BCC_1\) равен \(\angle CBC_1 = 30°\). Теперь найдем \(\angle CAB\). В прямоугольном треугольнике \(\triangle ABC\) \(\angle ABC = 30°\), так как \(\angle CBC_1\) является его частью. Тогда: \[\angle CAB = 90° - \angle ABC = 90° - 30° = 60°\] Ответ: \(\angle CAB = 60°\). **Развернутый ответ для школьника:** Привет! Давай разберем эти задачки вместе. Важно понимать, что треугольники и углы тесно связаны, и зная некоторые элементы, можно найти остальные. 1. **Задача 1:** Здесь нам дан треугольник, где все стороны разной длины, и указан один прямой угол (90°) и угол в 30°. Твоя задача - найти все углы. Помни, что сумма всех углов в треугольнике всегда 180°. Так как один угол прямой, а другой 30°, то третий легко найти: 180° - 90° - 30° = 60°. Важно сопоставить углы сторонам: больший угол лежит напротив большей стороны, и наоборот. 2. **Задача 2:** Здесь у нас тоже прямоугольный треугольник, но даны другие условия. Один угол прямой (90°), а другой на 40° больше третьего. Опять же, используем правило о сумме углов в треугольнике. Если обозначить меньший угол за x, то больший будет x + 40°. Составляем уравнение: 90° + x + (x + 40°) = 180°. Решаем его, находим x, а затем и второй угол. 3. **Задача 3:** В этой задаче у нас прямоугольный треугольник, проведена высота. Важно увидеть, что высота образует еще один прямоугольный треугольник внутри большого. Зная длину высоты и гипотенузы (стороны BC), можно заметить, что высота равна половине гипотенузы. Это подсказывает, что один из углов в этом маленьком треугольнике равен 30° (потому что в прямоугольном треугольнике катет, равный половине гипотенузы, лежит напротив угла в 30°). А дальше, зная углы в малом треугольнике, легко найти нужный угол в большом! Помни, геометрия – это как пазл. Главное - увидеть, как элементы связаны между собой, и тогда решение придет само собой! Удачи!