Контрольная работа №3. Декартовы координаты. Вариант 1. 1. Даны точки M(-6; 3) и P(8; -7). Найдите длину отрезка MP и координаты его середины. 2. Точка H(-3; 6) принадлежит окружности, а точка K(-9; 2) - центр этой окружности. Составьте уравнение окружности. 3. Найдите координаты вершины B параллелограмма ABCD, если A(-3; -2), C(4; 1), D(2; 5). 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки F(7,5; 8) и T(15; -7). 5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек N(-5; 12) и S(4; -3). Контрольная работа №3. Декартовы координаты. Вариант 2. 1. Даны точки D(7; -8) и R(-2; 4). Найдите длину отрезка DR и координаты его середины. 2. Точка T(5; -3) принадлежит окружности, а точка S(-7; -9) - центр этой окружности. Составьте уравнение окружности. 3. Найдите координаты вершины A параллелограмма ABCD, если B(-2; 4), C(6; 2), D(3; -4). 4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки X(8; 14,5) и Y(-6; -10,7). 5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек P(7; -3) и K(-4; -2).

Привет, ребята! Давайте разберем эти контрольные работы по геометрии. **Вариант 1** **1. Длина отрезка MP и координаты середины** * **Длина отрезка MP:** Чтобы найти длину отрезка между двумя точками, используем формулу расстояния: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Подставляем координаты точек M(-6; 3) и P(8; -7): \[d = \sqrt{(8 - (-6))^2 + (-7 - 3)^2} = \sqrt{(14)^2 + (-10)^2} = \sqrt{196 + 100} = \sqrt{296}\] \[d = 2\sqrt{74}\] * **Координаты середины отрезка MP:** Чтобы найти координаты середины отрезка, используем формулы: \[x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}\] Подставляем координаты точек M(-6; 3) и P(8; -7): \[x_m = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1, \quad y_m = \frac{3 + (-7)}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] Таким образом, середина отрезка MP имеет координаты (1; -2). **Ответ:** Длина отрезка MP равна $2\sqrt{74}$, середина отрезка MP имеет координаты (1; -2). **2. Уравнение окружности** * **Уравнение окружности:** Общий вид уравнения окружности с центром (a, b) и радиусом R: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\] Нам дан центр K(-9; 2). Нужно найти радиус R. Так как точка H(-3; 6) лежит на окружности, радиус равен расстоянию между точками H и K. \[R = \sqrt{(-3 - (-9))^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(6)^2 + (4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}\] Таким образом, уравнение окружности: \[(x + 9)^2 + (y - 2)^2 = 52\] **Ответ:** Уравнение окружности: $(x + 9)^2 + (y - 2)^2 = 52$. **3. Координаты вершины B** * **Координаты вершины B:** В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны. Значит, вектор \(\vec{AD}\) равен вектору \(\vec{BC}\). Найдем вектор \(\vec{AD}\): \[\vec{AD} = (x_D - x_A, y_D - y_A) = (2 - (-3), 5 - (-2)) = (5, 7)\] Теперь найдем координаты точки B, зная координаты точки C: \[\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B)\] Поскольку \(\vec{BC} = \vec{AD}\), имеем: \[(4 - x_B, 1 - y_B) = (5, 7)\] Отсюда: \[4 - x_B = 5 \Rightarrow x_B = 4 - 5 = -1\] \[1 - y_B = 7 \Rightarrow y_B = 1 - 7 = -6\] Таким образом, координаты точки B: (-1; -6). **Ответ:** Координаты вершины B: (-1; -6). **4. Уравнение прямой** * **Уравнение прямой:** Сначала найдем угловой коэффициент k прямой, проходящей через точки F(7,5; 8) и T(15; -7): \[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-7 - 8}{15 - 7,5} = \frac{-15}{7,5} = -2\] Теперь воспользуемся уравнением прямой вида y = kx + b и подставим координаты одной из точек, например, F(7,5; 8): \[8 = -2 \cdot 7,5 + b\] \[8 = -15 + b\] \[b = 8 + 15 = 23\] Таким образом, уравнение прямой: y = -2x + 23. **Ответ:** Уравнение прямой: y = -2x + 23. **5. Координаты точки на оси ординат** * **Координаты точки:** Пусть искомая точка P имеет координаты (0; y), так как она лежит на оси ординат. Расстояние от точки P до точек N(-5; 12) и S(4; -3) должно быть одинаковым. Используем формулу расстояния: \[PN = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (12 - y)^2} = \sqrt{25 + (12 - y)^2}\] \[PS = \sqrt{(4 - 0)^2 + (-3 - y)^2} = \sqrt{16 + (-3 - y)^2}\] Приравниваем PN и PS: \[\sqrt{25 + (12 - y)^2} = \sqrt{16 + (-3 - y)^2}\] Возводим обе части в квадрат: \[25 + (12 - y)^2 = 16 + (-3 - y)^2\] \[25 + 144 - 24y + y^2 = 16 + 9 + 6y + y^2\] \[169 - 24y = 25 + 6y\] \[30y = 144\] \[y = \frac{144}{30} = \frac{24}{5} = 4,8\] Таким образом, координаты точки P: (0; 4,8). **Ответ:** Координаты точки: (0; 4,8). **Вариант 2** **1. Длина отрезка DR и координаты середины** * **Длина отрезка DR:** Используем формулу расстояния между двумя точками: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Подставляем координаты точек D(7; -8) и R(-2; 4): \[d = \sqrt{(-2 - 7)^2 + (4 - (-8))^2} = \sqrt{(-9)^2 + (12)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15\] * **Координаты середины отрезка DR:** Используем формулы для нахождения координат середины отрезка: \[x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}\] Подставляем координаты точек D(7; -8) и R(-2; 4): \[x_m = \frac{7 + (-2)}{2} = \frac{5}{2} = 2,5, \quad y_m = \frac{-8 + 4}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] Таким образом, середина отрезка DR имеет координаты (2,5; -2). **Ответ:** Длина отрезка DR равна 15, середина отрезка DR имеет координаты (2,5; -2). **2. Уравнение окружности** * **Уравнение окружности:** Общий вид уравнения окружности с центром (a, b) и радиусом R: \[(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\] Нам дан центр S(-7; -9). Нужно найти радиус R. Так как точка T(5; -3) лежит на окружности, радиус равен расстоянию между точками T и S. \[R = \sqrt{(5 - (-7))^2 + (-3 - (-9))^2} = \sqrt{(12)^2 + (6)^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180}\] Таким образом, уравнение окружности: \[(x + 7)^2 + (y + 9)^2 = 180\] **Ответ:** Уравнение окружности: $(x + 7)^2 + (y + 9)^2 = 180$. **3. Координаты вершины A** * **Координаты вершины A:** В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны. Значит, вектор \(\vec{BA}\) равен вектору \(\vec{CD}\). Найдем вектор \(\vec{CD}\): \[\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (3 - 6, -4 - 2) = (-3, -6)\] Теперь найдем координаты точки A, зная координаты точки B: \[\vec{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B)\] Поскольку \(\vec{BA} = \vec{CD}\), имеем: \[(x_A - (-2), y_A - 4) = (-3, -6)\] Отсюда: \[x_A + 2 = -3 \Rightarrow x_A = -3 - 2 = -5\] \[y_A - 4 = -6 \Rightarrow y_A = -6 + 4 = -2\] Таким образом, координаты точки A: (-5; -2). **Ответ:** Координаты вершины A: (-5; -2). **4. Уравнение прямой** * **Уравнение прямой:** Сначала найдем угловой коэффициент k прямой, проходящей через точки X(8; 14,5) и Y(-6; -10,7): \[k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-10,7 - 14,5}{-6 - 8} = \frac{-25,2}{-14} = 1,8\] Теперь воспользуемся уравнением прямой вида y = kx + b и подставим координаты одной из точек, например, X(8; 14,5): \[14,5 = 1,8 \cdot 8 + b\] \[14,5 = 14,4 + b\] \[b = 14,5 - 14,4 = 0,1\] Таким образом, уравнение прямой: y = 1,8x + 0,1. **Ответ:** Уравнение прямой: y = 1,8x + 0,1. **5. Координаты точки на оси абсцисс** * **Координаты точки:** Пусть искомая точка Q имеет координаты (x; 0), так как она лежит на оси абсцисс. Расстояние от точки Q до точек P(7; -3) и K(-4; -2) должно быть одинаковым. Используем формулу расстояния: \[PQ = \sqrt{(7 - x)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{(7 - x)^2 + 9}\] \[QK = \sqrt{(-4 - x)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(-4 - x)^2 + 4}\] Приравниваем PQ и QK: \[\sqrt{(7 - x)^2 + 9} = \sqrt{(-4 - x)^2 + 4}\] Возводим обе части в квадрат: \[(7 - x)^2 + 9 = (-4 - x)^2 + 4\] \[49 - 14x + x^2 + 9 = 16 + 8x + x^2 + 4\] \[58 - 14x = 20 + 8x\] \[22x = 38\] \[x = \frac{38}{22} = \frac{19}{11} \approx 1,73\] Таким образом, координаты точки Q: (19/11; 0). **Ответ:** Координаты точки: (19/11; 0). Надеюсь, это объяснение поможет вам лучше понять эти задачи! Удачи в учебе!