Контрольная работа №4 по теме «Арифметическая прогрессия». Вариант № 1 1. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (ап), если а₁ = -15 и d = 3. 2. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; ... 3. Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (bn), заданной формулой bn=3n-1. 4. Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии (ап), в которой а₁ = 25,5 и а9 = 5,5? 5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100.

Здравствуйте, ребята! Разберем задачи из контрольной работы. **Задача 1:** Найти двадцать третий член арифметической прогрессии, если $$a_1 = -15$$ и $$d = 3$$. Используем формулу $$n$$-го члена арифметической прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. В нашем случае $$n = 23$$, $$a_1 = -15$$ и $$d = 3$$. Подставляем значения в формулу: $$a_{23} = -15 + (23-1) cdot 3 = -15 + 22 cdot 3 = -15 + 66 = 51$$. **Ответ: 51** **Задача 2:** Найти сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; ... Сначала найдем разность арифметической прогрессии: $$d = a_2 - a_1 = 4 - 8 = -4$$. Теперь найдем шестнадцатый член прогрессии: $$a_{16} = a_1 + (16-1)d = 8 + 15 cdot (-4) = 8 - 60 = -52$$. Используем формулу суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} cdot n$$. В нашем случае $$n = 16$$, $$a_1 = 8$$ и $$a_{16} = -52$$. Подставляем значения в формулу: $$S_{16} = \frac{8 + (-52)}{2} cdot 16 = \frac{-44}{2} cdot 16 = -22 cdot 16 = -352$$. **Ответ: -352** **Задача 3:** Найти сумму шестидесяти первых членов последовательности $$(b_n)$$, заданной формулой $$b_n = 3n - 1$$. Сначала найдем первый и шестидесятый члены последовательности: $$b_1 = 3 cdot 1 - 1 = 2$$. $$b_{60} = 3 cdot 60 - 1 = 180 - 1 = 179$$. Используем формулу суммы $$n$$ первых членов арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{b_1 + b_n}{2} cdot n$$. В нашем случае $$n = 60$$, $$b_1 = 2$$ и $$b_{60} = 179$$. Подставляем значения в формулу: $$S_{60} = \frac{2 + 179}{2} cdot 60 = \frac{181}{2} cdot 60 = 181 cdot 30 = 5430$$. **Ответ: 5430** **Задача 4:** Является ли число 54,5 членом арифметической прогрессии $$(a_n)$$, в которой $$a_1 = 25,5$$ и $$a_9 = 5,5$$? Сначала найдем разность арифметической прогрессии. Используем формулу $$a_n = a_1 + (n-1)d$$, где $$n=9$$. $$a_9 = a_1 + (9-1)d$$, $$5,5 = 25,5 + 8d$$, $$8d = 5,5 - 25,5 = -20$$, $$d = \frac{-20}{8} = -2,5$$. Теперь проверим, является ли 54,5 членом этой прогрессии. Пусть $$a_n = 54,5$$. Тогда: $$54,5 = 25,5 + (n-1)(-2,5)$$, $$54,5 - 25,5 = (n-1)(-2,5)$$, $$29 = (n-1)(-2,5)$$, $$n-1 = \frac{29}{-2,5} = -11,6$$, $$n = -11,6 + 1 = -10,6$$. Так как $$n$$ не является натуральным числом, то число 54,5 не является членом данной арифметической прогрессии. **Ответ: Нет, не является** **Задача 5:** Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превосходящих 100. Первое число, кратное 3, это 3. Последнее число, кратное 3 и не превосходящее 100, это 99. То есть, нам нужно найти сумму арифметической прогрессии: 3, 6, 9, ..., 99. Разность арифметической прогрессии $$d = 3$$. Найдем количество членов прогрессии: $$a_n = a_1 + (n-1)d$$, $$99 = 3 + (n-1)3$$, $$99 = 3 + 3n - 3$$, $$99 = 3n$$, $$n = \frac{99}{3} = 33$$. Теперь найдем сумму: $$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} cdot n$$, $$S_{33} = \frac{3 + 99}{2} cdot 33 = \frac{102}{2} cdot 33 = 51 cdot 33 = 1683$$. **Ответ: 1683**