Контрольная работа №3 по теме «Параллельные прямые». Вариант 2 1. Отрезки PN и ED пересекаются в их середине M. Докажите, что EN || PD. 2. На рисунке ∠1= 47°, ∠2=118°, ∠3=62°. Найдите ∠4. 3. Отрезок DM - биссектриса треугольника ADC. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DA в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠ADC = 72°. 4. Дан ∠ABC, равный 76°. Через точку A проведена прямая, параллельная прямой BC и пересекающая биссектрису угла в точке M. Найдите углы треугольника ABM.

Здравствуйте, ученики! Сегодня мы разберем задачи из контрольной работы по теме «Параллельные прямые». **Задача 1:** Отрезки PN и ED пересекаются в их середине M. Докажите, что EN || PD. *Решение:* По условию, M - середина отрезков PN и ED. Это означает, что PM = MN и EM = MD. Рассмотрим четырехугольник ENDP. Диагонали EN и PD делятся точкой пересечения M пополам. Следовательно, четырехугольник ENDP - параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны параллельны, значит, EN || PD. *Ответ:* EN || PD. **Задача 2:** На рисунке ∠1= 47°, ∠2=118°, ∠3=62°. Найдите ∠4. *Решение:* Предположим, что данная задача относится к углам, образованным двумя параллельными прямыми и секущей. Сначала найдем угол, смежный с углом ∠2. Этот угол равен 180° - 118° = 62°. Заметим, что угол ∠3 и угол, смежный с углом ∠2, равны (оба по 62°). Значит, соответствующие прямые параллельны. Теперь рассмотрим угол ∠1. Вертикальный с ним угол тоже равен 47°. Угол ∠4 и вертикальный с углом ∠1 являются односторонними углами при параллельных прямых. Следовательно, ∠4 = 180° - 47° = 133°. *Ответ:* ∠4 = 133°. **Задача 3:** Отрезок DM - биссектриса треугольника ADC. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DA в точке N. Найдите углы треугольника DMN, если ∠ADC = 72°. *Решение:* Так как DM - биссектриса ∠ADC, то ∠ADM = ∠MDC = 72° / 2 = 36°. Так как MN || CD, то ∠DNM и ∠ADC - соответственные углы, следовательно, ∠DNM = ∠ADC = 72°. ∠DMN и ∠MDC - накрест лежащие углы при параллельных прямых MN и CD, следовательно, ∠DMN = ∠MDC = 36°. Теперь найдем ∠MDN в треугольнике DMN: ∠MDN = ∠ADM = 36°. Итак, углы треугольника DMN: ∠DMN = 36°, ∠DNM = 72°, ∠MDN = 36°. *Ответ:* ∠DMN = 36°, ∠DNM = 72°, ∠MDN = 36°. **Задача 4:** Дан ∠ABC, равный 76°. Через точку A проведена прямая, параллельная прямой BC и пересекающая биссектрису угла в точке M. Найдите углы треугольника ABM. *Решение:* Пусть AM - прямая, параллельная BC, и BM - биссектриса ∠ABC. ∠ABC = 76°, значит, ∠ABM = ∠MBC = 76° / 2 = 38°. Так как AM || BC, то ∠BAM и ∠ABC - внутренние односторонние углы, следовательно, ∠BAM + ∠ABC = 180°. Отсюда ∠BAM = 180° - 76° = 104°. ∠BMA и ∠MBC - накрест лежащие углы при параллельных прямых AM и BC, следовательно, ∠BMA = ∠MBC = 38°. Теперь найдем ∠AMB в треугольнике ABM: ∠AMB = 38°. Найдем ∠BAM = 180 - 38 - 38 = 104. Итак, углы треугольника ABM: ∠ABM = 38°, ∠BMA = 38°, ∠BAM = 104°. *Ответ:* ∠ABM = 38°, ∠BMA = 38°, ∠BAM = 104°. Надеюсь, это объяснение было полезным. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!