Контрольная работа №2. Вариант 1. 1. Найдите координаты середины отрезка АВ, если A(-2; 4), B(-6; 8). 2. Найдите координаты вектора AD, если A(0; 8), D(-4; 7) и его длину. 3. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(-3; 2) и радиусом√11. 4. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(-1; 1) и В(2; 7). 5. В треугольнике ОАВ проведена медиана ОМ. Определите ее длину, если А(-5; 0), В(0; -3), а точка О является началом координат. Найдите периметр треугольника ОАВ.

Вот решение заданий контрольной работы: 1. **Найти координаты середины отрезка AB, если A(-2; 4), B(-6; 8).** Чтобы найти координаты середины отрезка, нужно найти среднее арифметическое координат концов отрезка. Пусть M(x; y) - середина отрезка AB. Тогда: $$x = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + (-6)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$y = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{4 + 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ Таким образом, координаты середины отрезка AB: M(-4; 6). 2. **Найдите координаты вектора AD, если A(0; 8), D(-4; 7) и его длину.** Чтобы найти координаты вектора AD, нужно вычесть из координат конца (D) координаты начала (A). $$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (-4 - 0; 7 - 8) = (-4; -1)$$ Длина вектора AD вычисляется по формуле: $$|AD| = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$$ Таким образом, координаты вектора AD: (-4; -1), а его длина равна $$\sqrt{17}$$. 3. **Напишите уравнение окружности с центром в точке А(-3; 2) и радиусом √11.** Уравнение окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R имеет вид: $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$$ В нашем случае, a = -3, b = 2, R = $$\sqrt{11}$$. Подставляем значения: $$(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{11})^2$$ $$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 11$$ Таким образом, уравнение окружности: $$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 11$$. 4. **Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(-1; 1) и В(2; 7).** Уравнение прямой, проходящей через две точки (x1; y1) и (x2; y2), можно записать в виде: $$\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ В нашем случае, A(-1; 1) и B(2; 7). Подставляем значения: $$\frac{y - 1}{x - (-1)} = \frac{7 - 1}{2 - (-1)}$$ $$\frac{y - 1}{x + 1} = \frac{6}{3}$$ $$\frac{y - 1}{x + 1} = 2$$ $$y - 1 = 2(x + 1)$$ $$y - 1 = 2x + 2$$ $$y = 2x + 3$$ Таким образом, уравнение прямой: y = 2x + 3. 5. **В треугольнике ОАВ проведена медиана ОМ. Определите ее длину, если А(-5; 0), В(0; -3), а точка О является началом координат. Найдите периметр треугольника ОАВ.** Так как О - начало координат, то O(0; 0). M - середина AB. Найдем координаты M: $$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-5 + 0}{2} = -\frac{5}{2}$$ $$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + (-3)}{2} = -\frac{3}{2}$$ Итак, M(-2.5; -1.5). Теперь найдем длину медианы OM: $$|OM| = \sqrt{(x_M - x_O)^2 + (y_M - y_O)^2} = \sqrt{(-2.5 - 0)^2 + (-1.5 - 0)^2} = \sqrt{6.25 + 2.25} = \sqrt{8.5}$$ Найдем длины сторон треугольника ОАВ: $$|OA| = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{25} = 5$$ $$|OB| = \sqrt{(x_B - x_O)^2 + (y_B - y_O)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{9} = 3$$ $$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$$ Периметр треугольника OAB: $$P = |OA| + |OB| + |AB| = 5 + 3 + \sqrt{34} = 8 + \sqrt{34}$$ Ответ: Длина медианы OM: $$\sqrt{8.5}$$ Периметр треугольника OAB: $$8 + \sqrt{34}$$