Контрольная работа по геометрии 8 класс «Площади четырехугольников» Вариант 1 1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 15 и 20 см. Найти площадь 2. В прямоугольнике одна сторона равна 10 мм, другая сторона на 4 больше. Найдите площадь прямоугольника. 3. Одна из сторон параллелограмма равна 20, а опущенная на нее высота равна 23. Найдите площадь параллелограмма. 4. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 24, а один из углов угол равен 135°. Найдите площадь трапеции. 5. В ромбе сторона равна 33, одна из диагоналей - 24, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 120°. Найдите площадь ромба. 6. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 м², один катет которого в 3 раза больше другого. Найдите катеты треугольника. 7. В прямоугольнике одна сторона равна 14, периметр равен 54. Найдите площадь прямоугольника.

1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Пусть катеты равны $$a = 15$$ см и $$b = 20$$ см. Тогда площадь $$S$$ равна: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 15 \cdot 10 = 150 \text{ см}^2$$ Ответ: Площадь треугольника равна 150 см². 2. В прямоугольнике одна сторона равна 10 мм, а другая на 4 мм больше. Найдем площадь прямоугольника. Пусть $$a = 10$$ мм, тогда $$b = a + 4 = 10 + 4 = 14$$ мм. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $$S = a \cdot b = 10 \cdot 14 = 140 \text{ мм}^2$$. Ответ: Площадь прямоугольника равна 140 мм². 3. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Если сторона $$a = 20$$, а высота $$h = 23$$, то площадь $$S$$ равна: $$S = a \cdot h = 20 \cdot 23 = 460$$ Ответ: Площадь параллелограмма равна 460. 4. В равнобедренной трапеции основания равны 4 и 24, а один из углов равен 135°. Найдем площадь трапеции. Пусть $$a = 4$$, $$b = 24$$. Высоту трапеции можно найти, зная, что угол равен 135°. Второй угол равен $$180 - 135 = 45$$ градусов. Высота трапеции $$h$$ равна: $$h = \frac{b - a}{2} = \frac{24 - 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ Площадь трапеции $$S$$ равна: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{4 + 24}{2} \cdot 10 = \frac{28}{2} \cdot 10 = 14 \cdot 10 = 140$$ Ответ: Площадь трапеции равна 140. 5. В ромбе сторона равна 33, одна из диагоналей равна 24, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 120°. Найдем площадь ромба. Пусть сторона ромба $$a = 33$$, диагональ $$d_1 = 24$$. Угол, лежащий напротив диагонали, равен 120°. Тогда половина этого угла равна 60°. В ромбе диагонали перпендикулярны и делят углы пополам. Второй угол равен 60 градусам. Тогда вторая диагональ может быть найдена с использованием теоремы косинусов, но тут не хватает данных, т.к. мы знаем только сторону и одну диагональ. Высоту можно выразить через площадь $$S = a^2 sin \alpha = 33^2 sin 120 \approx 33^2 \cdot 0.866 \approx 940.866$$. Недостаточно данных, чтобы решить задачу. Однако, раз угол равен 120 градусам, то, значит, второй угол равен 60 градусам и ромб состоит из двух равносторонних треугольников, но это не вяжется с тем, что одна из диагоналей 24, а сторона 33. Наверное, в условии опечатка и угол 60 градусов, а не 120. Но будем решать как есть. Используем формулу площади ромба через диагонали: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$ Для нахождения второй диагонали воспользуемся теоремой косинусов: $$d_1^2 = 2 a^2 - 2 a^2 \cos(\alpha)$$ $$24^2 = 2 \cdot 33^2 - 2 \cdot 33^2 \cos(120)$$ $$576 = 2 \cdot 1089 - 2 \cdot 1089 \cdot (-0.5)$$ $$576 = 2178 + 1089 = 3267$$ Это неверно, поэтому в условии ошибка. Иначе задача не имеет решения. 6. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 м², один катет которого в 3 раза больше другого. Найдем катеты треугольника. Пусть один катет $$x$$, тогда второй $$3x$$. Площадь равна: $$\frac{1}{2} \cdot x \cdot 3x = 24$$ $$\frac{3}{2} x^2 = 24$$ $$x^2 = \frac{2 \cdot 24}{3} = 16$$ $$x = 4$$ Тогда один катет равен 4 м, а второй равен $$3 \cdot 4 = 12$$ м. Ответ: Катеты треугольника равны 4 м и 12 м. 7. В прямоугольнике одна сторона равна 14, периметр равен 54. Найдем площадь прямоугольника. Пусть одна сторона $$a = 14$$. Периметр $$P = 2(a + b) = 54$$. Тогда: $$2(14 + b) = 54$$ $$14 + b = 27$$ $$b = 27 - 14 = 13$$ Площадь прямоугольника равна: $$S = a \cdot b = 14 \cdot 13 = 182$$ Ответ: Площадь прямоугольника равна 182.