Контрольная работа по геометрии. 8 класс. Четырехугольники. 2 вариант. 1. Найти стороны параллелограмма АВСД, если его периметр равен 54 см, а сторона АВ больше ВС в 2 раза. 2. Найти углы параллелограмма АВСД, если известно, что угол А меньше угла В на 40°. 3. Найти углы прямоугольной трапеции, если больший из них равен 120°. 4. Найти диагонали прямоугольника АВСД, если ∠АВД=30°, АД=6 см. 5. В четырехугольнике сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°. Докажите, что АВСД - параллелограмм. 6. В ромбе МНРК с тупым углом К диагонали пересекаются в точке Е. Один из углов треугольника РКЕ равен 30°. Найти углы ромба.

Пусть BC = x, тогда AB = 2x. Периметр параллелограмма ABCD равен $$2(AB + BC) = 54$$. Следовательно, $$2(2x + x) = 54$$, $$6x = 54$$, $$x = 9$$.

Тогда BC = AD = 9 см, AB = CD = 18 см.

Ответ: BC = AD = 9 см, AB = CD = 18 см.

Пусть ∠A = x, тогда ∠B = x + 40°. Так как в параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, то $$x + x + 40° = 180°$$, $$2x = 140°$$, $$x = 70°$$.

Следовательно, ∠A = ∠C = 70°, ∠B = ∠D = 110°.

Ответ: ∠A = ∠C = 70°, ∠B = ∠D = 110°.

В прямоугольной трапеции два угла прямые (90°). Больший угол равен 120°, значит, смежный ему угол равен $$180° - 120° = 60°$$.

Ответ: 90°, 90°, 120°, 60°.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольник ABCD. $$AD = 6$$ см. Треугольник ABD – прямоугольный, $$\angle ABD = 30^\circ$$. Напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Следовательно, AD – катет, равный половине гипотенузы AB. Значит, AB = 2AD = 12 см. По теореме Пифагора, $$BD^2 = AB^2 + AD^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180$$. BD = √180 = 6√5 см. Так как диагонали прямоугольника равны, то AC = BD = 6√5 см.

Ответ: $$AC = BD = 6\sqrt{5}$$ см.

Доказательство: Пусть ABCD - четырехугольник, в котором сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°. Это означает, что ∠A + ∠B = 180° и ∠B + ∠C = 180°. Выразим ∠A и ∠C через ∠B: ∠A = 180° - ∠B и ∠C = 180° - ∠B. Следовательно, ∠A = ∠C. Аналогично, ∠B + ∠C = 180° и ∠C + ∠D = 180°. Выразим ∠B и ∠D через ∠C: ∠B = 180° - ∠C и ∠D = 180° - ∠C. Следовательно, ∠B = ∠D. Таким образом, в четырехугольнике ABCD противоположные углы равны. Это является признаком параллелограмма.

Следовательно, ABCD - параллелограмм.

В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом. Рассмотрим ромб MHPK. Диагонали пересекаются в точке E. Угол RKE равен 30°. Так как KE - биссектриса угла K, то ∠K = 2∠RKE = 2 × 30° = 60°. В ромбе противоположные углы равны, следовательно, ∠M = ∠K = 60°. Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна 180°, следовательно, ∠H = ∠P = 180° - 60° = 120°.

Ответ: ∠M = ∠K = 60°, ∠H = ∠P = 120°.