Контрольная работа по геометрии. Тема: Движения. 1. Начертите равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Постройте: а) фигуру, на которую отображается отрезок BC при центральной симметрии с центром A; б) фигуру, на которую отображается угол ACB при осевой симметрии с осью AC. 2. Постройте фигуру, на которую отображается данный угол ABC (∠ABC = 45°) поворотом вокруг точки B на угол 90° против часовой стрелки. 3. Дано точки A(-1;-2), B(3;0), C(-1;0). Найдите координаты точки, в которую отображается середина отрезка AB: а) при центральной симметрии с центром C; б) при осевой симметрии с осью AC. 4. Центр окружности (x – 4)² + (y +7)² = 4 параллельным переносом на вектор a отображается в точку пересечения прямых x = 2 и y = -3. Найдите координаты вектора a. 5. Даны смежные углы AOC и BOC. При повороте вокруг точки O на угол α (α < 180°) луч OA отобразился на луч OC, а луч OC — на луч OB. Докажите, что α = 90°.

Привет, ученик! Давай разберем эти задачи по геометрии. **1. Равнобедренный треугольник и симметрия** а) **Центральная симметрия отрезка BC относительно точки A:** * Центральная симметрия относительно точки A означает, что каждая точка отрезка BC отображается в точку, находящуюся на таком же расстоянии от A, но в противоположном направлении. * Чтобы построить фигуру, отображающую отрезок BC, нужно найти точки, симметричные B и C относительно A. Обозначим их B' и C'. * Координаты B' найдем как ( B' = 2A - B ). Аналогично, ( C' = 2A - C ). * Соединив точки B' и C', получим отрезок B'C', который является образом отрезка BC при центральной симметрии с центром A. б) **Осевая симметрия угла ACB относительно оси AC:** * Осевая симметрия относительно оси AC означает, что каждая точка угла ACB отображается в точку, находящуюся на таком же расстоянии от AC, но с другой стороны от оси. * Так как AC является осью симметрии, точки A и C остаются на месте. * Точка B отобразится в точку B', такую что AC является серединным перпендикуляром к отрезку BB'. * Угол ACB отобразится в угол ACB'. **2. Поворот угла ABC** * Поворот угла ABC (45°) вокруг точки B на 90° против часовой стрелки означает, что нужно повернуть лучи BA и BC на 90° против часовой стрелки. * Точка B остается на месте. * Новые лучи BA' и BC' образуют угол A'BC', который является образом угла ABC после поворота. **3. Координаты середины отрезка и симметрия** * Найдем середину отрезка AB. Пусть это точка M. Координаты точки M: ( M = (\frac{A_x + B_x}{2}, \frac{A_y + B_y}{2}) = (\frac{-1 + 3}{2}, \frac{-2 + 0}{2}) = (1, -1) ) а) **Центральная симметрия точки M относительно точки C:** * Координаты точки M', симметричной M относительно C, найдем как ( M' = 2C - M ). * ( M' = (2 \cdot (-1) - 1, 2 \cdot 0 - (-1)) = (-2 - 1, 0 + 1) = (-3, 1) ) б) **Осевая симметрия точки M относительно оси AC:** * Так как ось AC горизонтальна (y = 0), точка M отобразится в точку M', имеющую ту же координату x, но противоположную координату y. * ( M' = (1, -(-1)) = (1, 1) ) **4. Координаты вектора a** * Центр окружности задан уравнением ( (x - 4)^2 + (y + 7)^2 = 4 ). Центр этой окружности – точка O(4, -7). * После параллельного переноса на вектор ( \vec{a} ) центр окружности оказался в точке пересечения прямых x = 2 и y = -3. Обозначим эту точку O'(2, -3). * Чтобы найти вектор ( \vec{a} ), нужно вычесть координаты старого центра из координат нового центра: ( \vec{a} = O' - O = (2 - 4, -3 - (-7)) = (-2, 4) ) **5. Смежные углы и поворот** * Даны смежные углы AOC и BOC. Значит, сумма этих углов равна 180°. * При повороте вокруг точки O на угол α луч OA отобразился на луч OC, а луч OC — на луч OB. Это означает, что угол AOC равен углу COB, и оба они равны углу поворота α. * ( AOC + COB = 180° ) * ( α + α = 180° ) * ( 2α = 180° ) * ( α = 90° ) Разъяснения должны помочь тебе лучше понять эти задачи. Если возникнут вопросы, спрашивай!