Контрольная работа по геометрии №5 Вариант 1. 1) Два угла треугольника равны 60° и 80°. Найдите градусные меры дуг, на которые вершины данного треугольника делят описанную окружность. 2) Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 2 см. Найдите периметр треугольника и радиус описанной окружности. 3) Диагонали ромба равны 30 см и 40 см. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Разберем задачи контрольной работы по геометрии.

Задача 1

Дано: треугольник с углами 60° и 80°, вписанный в окружность.

Найти: градусные меры дуг, на которые вершины треугольника делят окружность.

Решение:

1. Найдем третий угол треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол равен:

$$180° - 60° - 80° = 40°$$

2. Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Значит, градусная мера дуги равна удвоенному вписанному углу, опирающемуся на эту дугу.

3. Найдем градусные меры дуг:

• Дуга, на которую опирается угол в 60°, равна $$2 cdot 60° = 120°$$
• Дуга, на которую опирается угол в 80°, равна $$2 cdot 80° = 160°$$
• Дуга, на которую опирается угол в 40°, равна $$2 cdot 40° = 80°$$

Ответ: 120°, 160°, 80°

Задача 2

Дано: равносторонний треугольник, радиус вписанной окружности равен 2 см.

Найти: периметр треугольника и радиус описанной окружности.

Решение:

1. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности связан с радиусом описанной окружности соотношением $$r = R/2$$, где $$r$$ - радиус вписанной окружности, $$R$$ - радиус описанной окружности. Значит, радиус описанной окружности равен:

$$R = 2r = 2 cdot 2 = 4 ext{ см}$$

2. Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник связан со стороной треугольника соотношением $$r = rac{asqrt{3}}{6}$$, где $$a$$ - сторона треугольника. Найдем сторону треугольника:

$$2 = rac{asqrt{3}}{6}$$

$$a = rac{12}{sqrt{3}} = rac{12sqrt{3}}{3} = 4sqrt{3} ext{ см}$$

3. Периметр равностороннего треугольника равен:

$$P = 3a = 3 cdot 4sqrt{3} = 12sqrt{3} ext{ см}$$

Ответ: Периметр равен $$12sqrt{3}$$ см, радиус описанной окружности равен 4 см.

Задача 3

Дано: ромб с диагоналями 30 см и 40 см.

Найти: радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

1. Площадь ромба можно найти как половину произведения его диагоналей:

$$S = rac{1}{2}d_1d_2 = rac{1}{2} cdot 30 cdot 40 = 600 ext{ см}^2$$

2. Найдем сторону ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делят друг друга пополам. Поэтому, половинки диагоналей (15 см и 20 см) и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, сторона ромба равна:

$$a = sqrt{15^2 + 20^2} = sqrt{225 + 400} = sqrt{625} = 25 ext{ см}$$

3. Площадь ромба можно также найти как произведение стороны на высоту: $$S = ah$$. Высота ромба равна:

$$h = rac{S}{a} = rac{600}{25} = 24 ext{ см}$$

4. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен половине высоты:

$$r = rac{h}{2} = rac{24}{2} = 12 ext{ см}$$

Ответ: 12 см