Контрольная работа по геометрии "Четырехугольники" Вариант 1. 1. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма. 2. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов 35°. 3. Стороны параллелограмма относятся как 3:1, a его периметр равен 40. Найдите стороны параллелограмма. 4. B параллелограмме ABCD проведена биссектриса ∠BAD, которая пересекает сторону ВС в точке М. Найдите сторону AD, если BM = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см. 5*. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной АВ угол 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка М лежит на стороне AD.

Предмет: Математика (Геометрия) 1. Пусть одна сторона параллелограмма равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$(x + 5)$$ см. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон, то есть $$2x + 2(x + 5) = 50$$. Решим уравнение: $$2x + 2x + 10 = 50$$ $$4x = 40$$ $$x = 10$$ Стороны параллелограмма равны 10 см и 15 см. 2. В прямоугольной трапеции два угла прямые (90°). Если один из углов равен 35°, то четвертый угол равен $$180° - 35° = 145°$$. 3. Пусть одна сторона параллелограмма равна $$3x$$, а другая $$x$$. Периметр параллелограмма равен $$2(3x + x) = 40$$. $$2(4x) = 40$$ $$8x = 40$$ $$x = 5$$ Стороны параллелограмма равны $$3 \cdot 5 = 15$$ см и 5 см. 4. В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке M. Так как AM - биссектриса, то $$\angle BAM = \angle MAD$$. Поскольку AD || BC, то $$\angle BMA = \angle MAD$$ как накрест лежащие углы. Следовательно, $$\angle BAM = \angle BMA$$, а значит, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 10 см. Периметр параллелограмма равен $$2(AB + AD) = 52$$ см. Подставим известное значение AB: $$2(10 + AD) = 52$$ $$10 + AD = 26$$ $$AD = 16$$ 5. В ромбе ABCD высота BM образует со стороной AB угол 30°. В прямоугольном треугольнике ABM катет AM лежит против угла 30°, следовательно, гипотенуза AB в два раза больше этого катета: AB = 2AM = 2 \cdot 4 = 8 см. Так как BM - высота ромба, то треугольник ABM - прямоугольный, и мы можем найти BM, используя синус угла 30°: BM = AB \cdot sin30° = 8 \cdot (1/2) = 4 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. Так как угол ABM равен 30°, то угол BAM равен 60°. AM = 4 см. Тогда AD = 2AM = 8 см, так как M - середина AD. Диагональ BD можно найти, рассмотрев треугольник ABD. В ромбе диагонали являются биссектрисами его углов, поэтому угол ABD равен половине угла ABC. Угол ABC равен 180° - 60° = 120°, следовательно, угол ABD равен 60°. Таким образом, треугольник ABD - равносторонний, и BD = AB = 8 см.