Контрольная работа по теме: «Окружность» Вариант 1. 1. Центральный угол BOC равен 40°. Найти вписанный угол, опирающийся на дугу BC. 2. Прямая AB касается окружности в точке B. Радиус окружности 9 см, а центр O, AO = 41 см. Найти AB. 3. В окружности хорды AB и CD пересекаются в точке E. AB = 0.7 см, BE = 0.5 см, CE = 0.4 см. Найти DE, DC. 4. Четырехугольник ABCD вписан в окружность диаметра AC. Найдите углы четырехугольника, если дуга BC = 100°, дуга CD = 60°. 5. В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Центральный угол ∠BOC равен 40°. Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла.

Вписанный угол = 40° / 2 = 20°.

Ответ: 20°

Прямая AB касается окружности в точке B. Радиус OB = 9 см, AO = 41 см. Нужно найти AB.

Так как AB - касательная к окружности, то радиус OB перпендикулярен AB. Значит, треугольник ABO - прямоугольный с гипотенузой AO.

По теореме Пифагора: $$AB^2 + OB^2 = AO^2$$

$$AB^2 = AO^2 - OB^2$$

$$AB^2 = 41^2 - 9^2 = 1681 - 81 = 1600$$

$$AB = \sqrt{1600} = 40$$

Ответ: 40 см

В окружности хорды AB и CD пересекаются в точке E. AB = 0.7 см, BE = 0.5 см, CE = 0.4 см. Найти DE, DC.

По свойству пересекающихся хорд: $$AE \cdot BE = CE \cdot DE$$

Сначала найдем AE: $$AE = AB - BE = 0.7 - 0.5 = 0.2$$ см.

Теперь найдем DE: $$0.2 \cdot 0.5 = 0.4 \cdot DE$$

$$DE = \frac{0.2 \cdot 0.5}{0.4} = \frac{0.1}{0.4} = 0.25$$ см.

Теперь найдем DC: $$DC = CE + DE = 0.4 + 0.25 = 0.65$$ см.

Ответ: DE = 0.25 см, DC = 0.65 см

Четырехугольник ABCD вписан в окружность диаметра AC. Дуга BC = 100°, дуга CD = 60°. Найти углы четырехугольника.

∠ABC = 90°, так как опирается на диаметр AC.

∠ADC = 90°, так как опирается на диаметр AC.

∠BAC = (1/2) * дуга BC = (1/2) * 100° = 50°

∠CAD = (1/2) * дуга CD = (1/2) * 60° = 30°

∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 50° + 30° = 80°

∠BCD = (1/2) * (дуга BAD) = (1/2) * (360° - 100° - 60°) = (1/2) * 200° = 100°

Ответ: ∠ABC = 90°, ∠ADC = 90°, ∠BAD = 80°, ∠BCD = 100°

В равнобедренный треугольник с основанием 12 см и периметром 32 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Пусть a - боковая сторона треугольника. Тогда 2a + 12 = 32

2a = 20

a = 10 см.

Полупериметр p = 32 / 2 = 16 см.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-a)(p-b)}$$

$$S = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{2304} = 48$$ см^2

Радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $$r = \frac{S}{p}$$

$$r = \frac{48}{16} = 3$$ см.

Ответ: 3 см