Контрольная работа по теме «Решение треугольников». Вариант 1. 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними - 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. 2. В треугольнике ABC известно, что AB= 3√2 см, ∠C=45°, ∠A=120°. Найдите сторону BC треугольника. 3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 13 см. 4. Найдите площадь треугольника, если его стороны равны 6 и 7 см, а угол между ними равен 45°

Решение: **Задача 1:** Дано: a = 6 см, b = 8 см, γ = 60°. Найти: c (третья сторона) и S (площадь). Решение: * По теореме косинусов: (c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)) (c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot cos(60°)) (c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot (1/2)) (c^2 = 100 - 48) (c^2 = 52) (c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}) см * Площадь треугольника: (S = (1/2) \cdot a \cdot b \cdot sin(γ)) (S = (1/2) \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin(60°)) (S = 24 \cdot (\sqrt{3}/2)) (S = 12\sqrt{3}) см² Ответ: Третья сторона равна (2\sqrt{13}) см, площадь равна (12\sqrt{3}) см². **Задача 2:** Дано: AB = (3\sqrt{2}) см, ∠C = 45°, ∠A = 120°. Найти: BC. Решение: * Сначала найдем угол B: ∠B = 180° - ∠A - ∠C ∠B = 180° - 120° - 45° ∠B = 15° * По теореме синусов: (\frac{BC}{sin(A)} = \frac{AB}{sin(C)}) (\frac{BC}{sin(120°)} = \frac{3\sqrt{2}}{sin(45°)}) (BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot sin(120°)}{sin(45°)}) (BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot (\sqrt{3}/2)}{(\sqrt{2}/2)}) (BC = 3\sqrt{3}) см Ответ: Сторона BC равна (3\sqrt{3}) см. **Задача 3:** Дано: Стороны треугольника 7 см, 10 см и 13 см. Определить тип треугольника. Решение: * Проверим, выполняется ли теорема Пифагора (или её обобщение): (7^2 + 10^2 ? 13^2) (49 + 100 ? 169) (149 < 169) * Так как (a^2 + b^2 < c^2), то треугольник тупоугольный. Ответ: Треугольник тупоугольный. **Задача 4:** Дано: a = 6 см, b = 7 см, γ = 45°. Найти: S (площадь). Решение: * Площадь треугольника: (S = (1/2) \cdot a \cdot b \cdot sin(γ)) (S = (1/2) \cdot 6 \cdot 7 \cdot sin(45°)) (S = 21 \cdot (\sqrt{2}/2)) (S = \frac{21\sqrt{2}}{2}) см² Ответ: Площадь треугольника равна (\frac{21\sqrt{2}}{2}) см². **Развернутый ответ для школьника:** Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. Главное - внимательно читать условие и вспоминать нужные формулы. 1. **Первая задача** про треугольник, у которого известны две стороны и угол между ними. Чтобы найти третью сторону, мы используем теорему косинусов. Эта теорема помогает найти сторону, если знаешь две другие и угол между ними. А чтобы найти площадь, используем формулу площади треугольника через две стороны и синус угла между ними. Не забудь, что косинус 60 градусов - это 1/2, а синус 60 градусов - это корень из 3 деленный на 2. 2. **Во второй задаче** дан треугольник, в котором известна одна сторона и два угла. Сначала находим третий угол, просто вычитая известные углы из 180 градусов (сумма углов в треугольнике). Затем используем теорему синусов. Она связывает стороны треугольника с синусами противолежащих углов. Так мы можем найти неизвестную сторону. 3. **В третьей задаче** нужно определить, какой тип треугольника дан по его сторонам. Для этого сравниваем квадраты сторон. Если квадрат самой большой стороны меньше суммы квадратов двух других сторон, то треугольник остроугольный. Если больше - тупоугольный. А если равен - прямоугольный (теорема Пифагора!). 4. **В четвертой задаче** снова нужно найти площадь треугольника, зная две стороны и угол между ними. Используем ту же формулу, что и в первой задаче, только угол другой. Важно помнить, что синус 45 градусов - это корень из 2 деленный на 2. Помни, что геометрия требует внимательности и знания формул. Удачи в учебе!