Контрольная работа по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии» 8 класс. Решить все задачи.

Здравствуйте, ребята! Сейчас мы решим задачи контрольной работы по теме «Теорема Пифагора и начала тригонометрии». **1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу данного треугольника.** Решение: По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: (c^2 = a^2 + b^2), где (c) - гипотенуза, (a) и (b) - катеты. В нашем случае, (a = 5) см, (b = 12) см. Подставляем значения: (c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169) (c = sqrt{169} = 13) см Ответ: Гипотенуза равна 13 см. **2. Сторона прямоугольника равна 7, а диагональ – 25. Найдите другую сторону прямоугольника.** Решение: Пусть (a = 7) и (d = 25), где (a) - одна сторона, (d) - диагональ. Нужно найти другую сторону (b). По теореме Пифагора: (d^2 = a^2 + b^2) Подставляем известные значения: (25^2 = 7^2 + b^2) (625 = 49 + b^2) (b^2 = 625 - 49 = 576) (b = sqrt{576} = 24) Ответ: Другая сторона прямоугольника равна 24. **3. Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 25 дм, а второй катет равен 15 дм.** Решение: Пусть (c = 25) дм (гипотенуза), (b = 15) дм (катет). Нужно найти катет (a). По теореме Пифагора: (c^2 = a^2 + b^2) (25^2 = a^2 + 15^2) (625 = a^2 + 225) (a^2 = 625 - 225 = 400) (a = sqrt{400} = 20) дм Ответ: Катет равен 20 дм. **4. Найдите \(\sin a\), если \(\cos a = \frac{2}{3}\).** Решение: Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\) \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\) \(\sin^2 a = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\) \(\sin a = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}\) Ответ: \(\sin a = \frac{\sqrt{5}}{3}\) **5. Найдите тангенс угла A треугольника ABC с прямым углом C, если BC = 8, AB = 17.** Решение: В прямоугольном треугольнике ABC (\(\angle C = 90^\circ\)), BC - катет, AB - гипотенуза. Найдем катет AC. (AC^2 = AB^2 - BC^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225) (AC = \sqrt{225} = 15) Тангенс угла A: \(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}\) Ответ: \(\tan A = \frac{8}{15}\) **6. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см.** Решение: В равностороннем треугольнике высота также является медианой и биссектрисой. Высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть (a = 6) см - сторона треугольника. Тогда половина стороны: \(\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3\) см. Высота (h) может быть найдена по теореме Пифагора: (h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27) (h = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}) см Ответ: Высота равна (3\sqrt{3}) см. **7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 0,75. Найдите косинус угла A.** Решение: Дано: \(\tan A = 0.75 = \frac{3}{4}\). В прямоугольном треугольнике \(\tan A = \frac{BC}{AC}\). Пусть (BC = 3x), (AC = 4x). Тогда по теореме Пифагора: (AB^2 = AC^2 + BC^2 = (4x)^2 + (3x)^2 = 16x^2 + 9x^2 = 25x^2) (AB = \sqrt{25x^2} = 5x) Косинус угла A: \(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5} = 0.8\) Ответ: \(\cos A = 0.8\) **8. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см.** Решение: Основания трапеции: (a = 5) см, (b = 17) см. Боковая сторона: (c = 10) см. Проведем высоты из вершин меньшего основания. Тогда отрезок, который отсекается высотой на большем основании: (\frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6) см. Высоту (h) можно найти из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и отрезком на большем основании. (h^2 = c^2 - (\frac{b-a}{2})^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64) (h = \sqrt{64} = 8) см Площадь трапеции: (S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{5 + 17}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88) см(^2) Ответ: Площадь трапеции равна 88 см(^2).