Контрольная работа по теме «Теорема Пифагора» Вариант II

Здравствуйте, ребята! Сегодня мы разберем задачи из контрольной работы по теме «Теорема Пифагора». Вариант II. **Задача 1.** *Условие:* Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 7 см. Найдите гипотенузу данного треугольника. *Решение:* По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Пусть \( a \) и \( b \) – катеты, а \( c \) – гипотенуза. Тогда: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] В нашем случае \( a = 24 \) см, \( b = 7 \) см. Подставим значения в формулу: \[ c^2 = 24^2 + 7^2 \] \[ c^2 = 576 + 49 \] \[ c^2 = 625 \] \[ c = \sqrt{625} \] \[ c = 25 \] *Ответ:* Гипотенуза равна 25 см. **Задача 2.** *Условие:* Сторона прямоугольника равна 15, а диагональ – 17. Найдите другую сторону прямоугольника. *Решение:* В прямоугольнике диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного сторонами прямоугольника. Пусть одна сторона \( a = 15 \), а диагональ \( c = 17 \). Нам нужно найти другую сторону \( b \). По теореме Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим известные значения: \[ 15^2 + b^2 = 17^2 \] \[ 225 + b^2 = 289 \] \[ b^2 = 289 - 225 \] \[ b^2 = 64 \] \[ b = \sqrt{64} \] \[ b = 8 \] *Ответ:* Другая сторона прямоугольника равна 8. **Задача 3.** *Условие:* Найдите катет прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 дм, а второй катет равен 16 дм. *Решение:* Опять используем теорему Пифагора. Пусть \( c = 20 \) дм (гипотенуза) и \( a = 16 \) дм (катет). Нам нужно найти катет \( b \). \[ a^2 + b^2 = c^2 \] \[ 16^2 + b^2 = 20^2 \] \[ 256 + b^2 = 400 \] \[ b^2 = 400 - 256 \] \[ b^2 = 144 \] \[ b = \sqrt{144} \] \[ b = 12 \] *Ответ:* Неизвестный катет равен 12 дм. **Задача 4.** *Условие:* Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна 4 см. *Решение:* Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] где \( a \) – сторона треугольника. В нашем случае \( a = 4 \) см. \[ S = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} \] \[ S = \frac{16 \sqrt{3}}{4} \] \[ S = 4 \sqrt{3} \] *Ответ:* Площадь равностороннего треугольника равна \( 4 \sqrt{3} \) см². **Задача 5.** *Условие:* Меньшее основание прямоугольной трапеции равно \( a \) см, а острый угол - 30°. Найдите площадь трапеции, если меньшая диагональ образует с основанием угол 60°. *Решение:* Пусть \( ABCD \) – данная прямоугольная трапеция, где \( BC = a \) – меньшее основание, \( AB \) – высота, \( AD \) – большее основание, и \( \angle CDA = 30^\circ \). Меньшая диагональ \( AC \) образует с основанием \( AD \) угол 60°, то есть \( \angle CAD = 60^\circ \). Так как \( \angle CAD = 60^\circ \) и \( \angle CDA = 30^\circ \), то \( \angle ACD = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ \). Следовательно, треугольник \( ACD \) – прямоугольный. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACD \). Так как \( \angle CAD = 60^\circ \), то \( CD = AD \cdot \cos(30^\circ) = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( AC = AD \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} AD \). Из треугольника \( ABC \) найдем высоту \( AB \). Так как \( \angle BAC = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \), то \( AB = BC \cdot \tan(60^\circ) = a \sqrt{3} \). Также, \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \), следовательно, \( AC^2 = (a\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \), значит, \( AC = 2a \). Тогда, \( AD = 2AC = 4a \). Теперь найдем площадь трапеции \( ABCD \) по формуле: \[ S = \frac{BC + AD}{2} \cdot AB \] \[ S = \frac{a + 4a}{2} \cdot a\sqrt{3} \] \[ S = \frac{5a}{2} \cdot a\sqrt{3} \] \[ S = \frac{5a^2\sqrt{3}}{2} \] *Ответ:* Площадь трапеции равна \( \frac{5a^2\sqrt{3}}{2} \) см². Надеюсь, эти подробные решения помогут вам лучше понять тему и подготовиться к следующим контрольным работам! Удачи!