Контрольная работа по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники». Вариант 1 1. Градусная мера центрального угла вписанного в окружность равна 94°. Найдите градусную меру вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. 2. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АД, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырехугольника АВСД. 3. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона = 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей. 4. Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки 5 см и 13см. Найдите площадь этого треугольника.

Задача 1: Градусная мера центрального угла равна 94°. Найти градусную меру вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Решение: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Ответ: 47°

Задача 2: Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АД, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырехугольника АВСД.

Решение:

• Пусть радиус окружности равен r. Тогда AB = AD = r.
• Так как AC - диаметр, то углы ABC и ADC - прямые углы (опираются на диаметр). Значит, ∠ABC = ∠ADC = 90°.
• Треугольники AOB и AOD - равносторонние (все стороны равны r). Следовательно, ∠BAC = ∠DAC = 60°/2 = 30°.
• ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 30° + 30° = 60°.
• В четырехугольнике ABCD сумма углов равна 360°. Следовательно, ∠BCD = 360° - ∠ABC - ∠ADC - ∠BAD = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°.

Ответ: ∠ABC = 90°, ∠ADC = 90°, ∠BAD = 60°, ∠BCD = 120°.

Задача 3: Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона = 15 см. Найдите радиусы вписанной и описанной около треугольника окружностей.

Решение:

• Обозначим треугольник ABC, где AB = BC = 15 см, AC = 18 см.
• Высота, проведённая к основанию, является и медианой. Обозначим её BH. Тогда AH = HC = 9 см.
• По теореме Пифагора для треугольника ABH: BH = √(AB² - AH²) = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12 см.
• Площадь треугольника ABC: S = (1/2) * AC * BH = (1/2) * 18 * 12 = 108 см².
• Радиус вписанной окружности: r = S/p, где p - полупериметр. p = (15 + 15 + 18)/2 = 24 см. r = 108/24 = 4.5 см.
• Радиус описанной окружности: R = (a * b * c) / (4 * S), где a, b, c - стороны треугольника. R = (15 * 15 * 18) / (4 * 108) = 30.375 / 4 ≈ 9.375 см.

Ответ: Радиус вписанной окружности r = 4.5 см, радиус описанной окружности R ≈ 9.375 см.

Задача 4: Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки 5 см и 13см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

• Высота треугольника равна 5 + 13 = 18 см.
• Пусть основание равнобедренного треугольника равно a. Обозначим треугольник ABC, где AB = BC. Высота BD делит AC пополам.
• Центр описанной окружности лежит на высоте BD. Значит, BO = R = 13 см, OD = 5 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. AD = a/2. По теореме Пифагора: AD² + BD² = AB². AB = BO = 13 см. Тогда AD² + 18² = 13² + 5² AD² + 324 = 169 a AD = 12
• Тогда площадь треугольника S = (1/2) * a * h = (1/2) * 24 * 18 = 216 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 216 см².