Контрольная работа №2 Преобразование рациональных выражений Вариант 1 1. Выполните действия: a) 9x⁴/y³ : 6x⁴/y² ; б) 4x²/(x+2) : (x²+4x+4)/8x² ; в) (3a-9)/(a+2) : (a²-9)/(a²-4) 2. Упростите выражение ((x+y)/(x-y) : (x-y)/(x+y)) : (xy/(x² - y²)) 3. Докажите тождество c²/(c-5)² + (c)/(5c +25) + c/(c-5) = c/5 4. Найдите значение x, при котором значение дроби 6/x меньше значения дроби -x на 1.

Предмет: Математика

1. Выполните действия:

а) $$ \frac{9x^4}{y^3} : \frac{6x^4}{y^2} $$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$$ \frac{9x^4}{y^3} \cdot \frac{y^2}{6x^4} = \frac{9x^4y^2}{6x^4y^3} $$

Сокращаем числитель и знаменатель на $$x^4$$ и $$y^2$$:

$$ \frac{9}{6y} = \frac{3}{2y} $$

б) $$ \frac{4x^2}{x+2} : \frac{x^2+4x+4}{8x^2} $$

Представим $$x^2+4x+4$$ как $$(x+2)^2$$:

$$ \frac{4x^2}{x+2} : \frac{(x+2)^2}{8x^2} = \frac{4x^2}{x+2} \cdot \frac{8x^2}{(x+2)^2} = \frac{32x^4}{(x+2)^3} $$

в) $$ \frac{3a-9}{a+2} : \frac{a^2-9}{a^2-4} $$

Разложим $$3a-9$$ как $$3(a-3)$$, $$a^2-9$$ как $$(a-3)(a+3)$$, $$a^2-4$$ как $$(a-2)(a+2)$$:

$$ \frac{3(a-3)}{a+2} : \frac{(a-3)(a+3)}{(a-2)(a+2)} = \frac{3(a-3)}{a+2} \cdot \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a+3)} $$

Сокращаем числитель и знаменатель на $$(a-3)$$ и $$(a+2)$$:

$$ \frac{3(a-2)}{a+3} $$

2. Упростите выражение $$ (\frac{x+y}{x-y} : \frac{x-y}{x+y}) : \frac{xy}{x^2 - y^2} $$

Преобразуем выражение в скобках:

$$ \frac{x+y}{x-y} : \frac{x-y}{x+y} = \frac{x+y}{x-y} \cdot \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)^2}{(x-y)^2} $$

Преобразуем последнее выражение:

$$ \frac{xy}{x^2 - y^2} = \frac{xy}{(x-y)(x+y)} $$

Подставим полученные выражения в исходное:

$$ \frac{(x+y)^2}{(x-y)^2} : \frac{xy}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y)^2}{(x-y)^2} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{xy} = \frac{(x+y)^3}{xy(x-y)} $$

3. Докажите тождество $$ \frac{c^2}{(c-5)^2} + \frac{c}{5c+25} + \frac{c}{c-5} = \frac{c}{5} $$

Приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $$5(c-5)^2(c+5)$$. Преобразуем дроби:

$$ \frac{5c^2(c+5) + c(c-5)^2 + 5c(c-5)(c+5)}{5(c-5)^2(c+5)} = \frac{5c^3+25c^2 + c(c^2-10c+25) + 5c(c^2-25)}{5(c-5)^2(c+5)} $$

$$ \frac{5c^3+25c^2 + c^3-10c^2+25c + 5c^3-125c}{5(c-5)^2(c+5)} = \frac{11c^3 + 15c^2 - 100c}{5(c-5)^2(c+5)} $$

Разложим числитель на множители:

$$ \frac{c(11c^2 + 15c - 100)}{5(c-5)^2(c+5)} $$

$$ \frac{c}{5} $$

4. Найдите значение x, при котором значение дроби $$ \frac{6}{x} $$ меньше значения дроби $$-x$$ на 1.

Составим уравнение:

$$ -x - \frac{6}{x} = 1 $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ -x^2 - 6 = x $$

$$ x^2 + x + 6 = 0 $$

Найдем дискриминант:

$$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23 $$

Т.к. дискриминант меньше 0, уравнение не имеет решений.