Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 120. Найдите объём конуса.

Пусть радиус основания конуса (и радиус шара) равен r, а высота конуса равна h.

Поскольку конус вписан в шар, и радиус основания конуса равен радиусу шара, то центр шара лежит на оси конуса и основание конуса проходит через центр шара. Следовательно, высота конуса равна двум радиусам шара: h = 2r.

Объем шара равен 120. Запишем формулу объема шара:

$$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$$

Подставим известное значение:

$$\frac{4}{3} \pi r^3 = 120$$

Выразим \(\pi r^3\):

$$\pi r^3 = 120 \cdot \frac{3}{4} = 90$$

Объем конуса вычисляется по формуле:

$$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Так как \(h = 2r\), то:

$$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r) = \frac{2}{3} \pi r^3$$

Подставим найденное значение \(\pi r^3 = 90\):

$$V_{конуса} = \frac{2}{3} \cdot 90 = 60$$

Ответ: 60