Костя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 26, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 12, но больше 8. Какие два числа задумал Костя? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Пусть первое число равно x, а второе равно y. Из условия известно, что: 1. x + y = 26 2. 8 < |x - y| < 12 Из первого уравнения выразим y: y = 26 - x. Теперь рассмотрим неравенство 8 < |x - y| < 12, подставим в него y = 26 - x: 8 < |x - (26 - x)| < 12 8 < |2x - 26| < 12 Рассмотрим два случая: Случай 1: 2x - 26 > 0 (т.е. 2x > 26 или x > 13) В этом случае имеем: 8 < 2x - 26 < 12 34 < 2x < 38 17 < x < 19 Так как x - натуральное число, то x может быть только 18. Тогда y = 26 - 18 = 8. Проверим разность: |18 - 8| = 10. 8 < 10 < 12 - условие выполняется. Случай 2: 2x - 26 < 0 (т.е. 2x < 26 или x < 13) В этом случае имеем: 8 < -(2x - 26) < 12 8 < 26 - 2x < 12 -18 < -2x < -14 14 < 2x < 18 7 < x < 9 Так как x - натуральное число, то x может быть только 8. Тогда y = 26 - 8 = 18. Проверим разность: |8 - 18| = |-10| = 10. 8 < 10 < 12 - условие выполняется. Таким образом, существует только одна пара чисел, удовлетворяющих условиям задачи: 18 и 8. Ответ: 8 и 18.