KP-8. Преобразование целых выражений. Вариант 1. 7 класс. 1. Преобразуйте в многочлен: a) $$(x-3)(x+3) - 3x(4-x)$$; б) $$(y-2)^2 - 4y(y+2)$$; в) $$5(a-2)^2 - 5a^2$$. 2. Разложите на множители: a) $$36y^2 - x^2$$; б) $$4a^2 - 24ab + 36b^2$$. 3. Упростите выражение $$(a - 3y)^2 + (a - 3y)(a + 3y) + 22a^2$$ и найдите его значение при $$a = -3$$. 4. Представьте в виде произведения: a) $$(x-4)^2 - 9x^2$$; б) $$64-a^6$$. 5. Докажите тождество: $$(3a + b)^2 - (3a - b)^2 = 12ab$$. 6. Докажите, что выражение $$x^2 - 4x + 9$$ может принимать лишь положительные значения. 7. Решите уравнение: $$y^3 + 3y^2 - y - 3 = 0$$.

Разберем каждое задание подробно: 1. Преобразуйте в многочлен: a) $$(x-3)(x+3) - 3x(4-x)$$; Применим формулу разности квадратов: $$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$$. Получаем: $$x^2 - 9 - 12x + 3x^2 = 4x^2 - 12x - 9$$. б) $$(y-2)^2 - 4y(y+2)$$; Раскроем скобки: $$(y^2 - 4y + 4) - (4y^2 + 8y) = y^2 - 4y + 4 - 4y^2 - 8y = -3y^2 - 12y + 4$$. в) $$5(a-2)^2 - 5a^2$$; Раскроем скобки: $$5(a^2 - 4a + 4) - 5a^2 = 5a^2 - 20a + 20 - 5a^2 = -20a + 20$$. 2. Разложите на множители: a) $$36y^2 - x^2$$; Применим формулу разности квадратов: $$36y^2 - x^2 = (6y - x)(6y + x)$$. б) $$4a^2 - 24ab + 36b^2$$; Вынесем общий множитель 4 за скобки: $$4(a^2 - 6ab + 9b^2) = 4(a - 3b)^2$$. 3. Упростите выражение $$(a - 3y)^2 + (a - 3y)(a + 3y) + 22a^2$$ и найдите его значение при $$a = -3$$. Раскроем скобки: $$(a^2 - 6ay + 9y^2) + (a^2 - 9y^2) + 22a^2 = a^2 - 6ay + 9y^2 + a^2 - 9y^2 + 22a^2 = 24a^2 - 6ay$$. Подставим $$a = -3$$: $$24(-3)^2 - 6(-3)y = 24 * 9 + 18y = 216 + 18y$$. 4. Представьте в виде произведения: a) $$(x-4)^2 - 9x^2$$; Применим формулу разности квадратов: $$((x - 4) - 3x)((x - 4) + 3x) = (-2x - 4)(4x - 4) = -8(x + 2)(x - 1)$$. б) $$64 - a^6$$; Применим формулу разности квадратов: $$(8 - a^3)(8 + a^3)$$. Затем применим формулы разности и суммы кубов: $$(2-a)(4+2a+a^2)(2+a)(4-2a+a^2)$$. 5. Докажите тождество: $$(3a + b)^2 - (3a - b)^2 = 12ab$$. Раскроем скобки: $$(9a^2 + 6ab + b^2) - (9a^2 - 6ab + b^2) = 9a^2 + 6ab + b^2 - 9a^2 + 6ab - b^2 = 12ab$$. Тождество доказано. 6. Докажите, что выражение $$x^2 - 4x + 9$$ может принимать лишь положительные значения. Выделим полный квадрат: $$x^2 - 4x + 4 + 5 = (x - 2)^2 + 5$$. Так как $$(x - 2)^2$$ всегда неотрицательно, то $$(x - 2)^2 + 5$$ всегда больше или равно 5, следовательно, выражение всегда положительно. 7. Решите уравнение: $$y^3 + 3y^2 - y - 3 = 0$$. Сгруппируем слагаемые: $$y^2(y + 3) - (y + 3) = 0$$. Вынесем общий множитель: $$(y^2 - 1)(y + 3) = 0$$. Разложим разность квадратов: $$(y - 1)(y + 1)(y + 3) = 0$$. Следовательно, $$y = 1$$, $$y = -1$$, $$y = -3$$. Ответы: 1. a) $$4x^2 - 12x - 9$$ b) $$-3y^2 - 12y + 4$$ c) $$-20a + 20$$ 2. a) $$(6y - x)(6y + x)$$ b) $$4(a - 3b)^2$$ 3. $$216 + 18y$$ 4. a) $$-8(x + 2)(x - 1)$$ b) $$(2-a)(4+2a+a^2)(2+a)(4-2a+a^2)$$ 5. Тождество доказано 6. Выражение всегда положительно 7. $$y = 1, y = -1, y = -3$$