Кривая задана уравнением $$\vec{r} = t^2\vec{i} + 2t^3\vec{j} - t^4\vec{k}$$. Ее нормальной плоскостью в точке, отвечающей значению $$t = 1$$, будет плоскость с уравнением Ответы: 1. $$2t(x-1) + 3t^2(y-2) - 4t^3(z+1) = 0$$ 2. $$2x+6y-4z = 0$$ 3. $$2(x-1)+(y-2)-4(z+1) = 0$$ 4. $$2(x-1)+6(y-2)+4(z-1) = 0$$

Найдем производную радиус-вектора по параметру $$t$$: $$\vec{r}'(t) = 2t\vec{i} + 6t^2\vec{j} - 4t^3\vec{k}.$$ В точке $$t = 1$$ производная равна: $$\vec{r}'(1) = 2\vec{i} + 6\vec{j} - 4\vec{k}.$$ Это вектор нормали к касательной плоскости (и направляющий вектор нормальной прямой) в точке $$t = 1$$. Координаты точки на кривой в момент времени $$t = 1$$: $$\vec{r}(1) = 1^2\vec{i} + 2(1)^3\vec{j} - 1^4\vec{k} = \vec{i} + 2\vec{j} - \vec{k}.$$ Точка имеет координаты $$(1, 2, -1)$$. Уравнение нормальной плоскости имеет вид: $$2(x - 1) + 6(y - 2) - 4(z + 1) = 0.$$ Разделим обе части уравнения на 2: $$(x - 1) + 3(y - 2) - 2(z + 1) = 0$$ $$x - 1 + 3y - 6 - 2z - 2 = 0$$ $$x + 3y - 2z - 9 = 0$$ Это уравнение не совпадает ни с одним из предложенных вариантов. Однако, если подставить $$t=1$$ в первое уравнение, то получим: $$2(1)(x-1) + 3(1)^2(y-2) - 4(1)^3(z+1) = 0$$ $$2(x-1) + 3(y-2) - 4(z+1) = 0$$ $$2x - 2 + 3y - 6 - 4z - 4 = 0$$ $$2x + 3y - 4z - 12 = 0$$ Это уравнение тоже не совпадает с предложенными вариантами. Проверим третий вариант ответа: $$2(x-1)+(y-2)-4(z+1) = 0$$ $$2x - 2 + y - 2 - 4z - 4 = 0$$ $$2x + y - 4z - 8 = 0$$ Четвертый вариант ответа: $$2(x-1)+6(y-2)+4(z-1) = 0$$ $$2x - 2 + 6y - 12 + 4z - 4 = 0$$ $$2x + 6y + 4z - 18 = 0$$ Проверим второй вариант подстановкой точки (1, 2, -1): $$2(1) + 6(2) - 4(-1) = 2 + 12 + 4 = 18
eq 0$$ Значит, второй вариант неверен. Рассмотрим первый вариант и подставим $$t = 1$$: $$2(1)(x-1) + 3(1)^2(y-2) - 4(1)^3(z+1) = 0$$$$2(x-1) + 3(y-2) - 4(z+1) = 0$$$$2x - 2 + 3y - 6 - 4z - 4 = 0$$$$2x + 3y - 4z - 12 = 0$$ Рассмотрим третий вариант и подставим точку (1, 2, -1): $$2(1-1) + (2-2) - 4(-1+1) = 0$$$$0 + 0 - 0 = 0$$ Точка удовлетворяет уравнению. Рассмотрим четвертый вариант и подставим точку (1, 2, -1): $$2(1-1) + 6(2-2) + 4(-1-1) = 0$$$$0 + 0 - 8 = 0$$ Это неверно. Итак, правильный ответ: $$2(x-1)+(y-2)-4(z+1) = 0$$