Куб и прямоугольный параллелепипед имеют одинаковую сумму длин всех ребер, равную 84 см. Длина параллелепипеда на 2 см больше ширины, а ширина на 2 см больше высоты. На сколько квадратных сантиметров площадь поверхности куба больше площади поверхности параллелепипеда?

Решим задачу по геометрии.

1. Найдем сторону куба.

У куба 12 ребер. Пусть длина ребра куба равна a. Тогда сумма длин всех ребер куба равна 12a. По условию задачи, эта сумма равна 84 см. Значит,

$$ 12a = 84 $$ $$ a = \frac{84}{12} $$ $$ a = 7 \text{ см} $$

2. Найдем площадь поверхности куба.

Площадь одной грани куба равна a² = 7² = 49 см². У куба 6 граней, значит площадь поверхности куба равна:

$$ 6 \cdot 49 = 294 \text{ см}^2 $$

3. Найдем размеры параллелепипеда.

Пусть высота параллелепипеда равна h. Тогда ширина равна h + 2, а длина равна (h + 2) + 2 = h + 4. У параллелепипеда 4 ребра каждой из этих длин. Значит, сумма длин всех ребер равна:

$$ 4h + 4(h + 2) + 4(h + 4) = 84 $$ $$ 4h + 4h + 8 + 4h + 16 = 84 $$ $$ 12h + 24 = 84 $$ $$ 12h = 60 $$ $$ h = 5 \text{ см} $$

Таким образом, высота параллелепипеда равна 5 см, ширина равна 5 + 2 = 7 см, а длина равна 5 + 4 = 9 см.

4. Найдем площадь поверхности параллелепипеда.

Площадь поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. У параллелепипеда 3 пары одинаковых граней. Значит, площадь поверхности равна:

$$ 2(5 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 7 \cdot 9) = 2(35 + 45 + 63) = 2 \cdot 143 = 286 \text{ см}^2 $$

5. Найдем разность площадей поверхностей куба и параллелепипеда.

Разность площадей равна:

$$ 294 - 286 = 8 \text{ см}^2 $$

Ответ: Площадь поверхности куба больше площади поверхности параллелепипеда на 8 см².