Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 9 прыжков?

Давай разберемся с этой задачей. Кузнечик может прыгать вправо или влево на единичный отрезок. После 9 прыжков его положение будет зависеть от того, сколько раз он прыгнул вправо и сколько раз влево. Пусть $$p$$ — количество прыжков вправо, а $$l$$ — количество прыжков влево. Тогда: $$p + l = 9$$ Положение кузнечика на координатной прямой будет равно $$p - l$$. Нам нужно найти, сколько различных значений может принимать $$p - l$$. Выразим $$l$$ через $$p$$: $$l = 9 - p$$. Тогда положение кузнечика будет: $$p - l = p - (9 - p) = 2p - 9$$ Так как $$p$$ может принимать значения от 0 до 9, перечислим возможные положения кузнечика: * Если $$p = 0$$, то $$2p - 9 = -9$$ * Если $$p = 1$$, то $$2p - 9 = -7$$ * Если $$p = 2$$, то $$2p - 9 = -5$$ * Если $$p = 3$$, то $$2p - 9 = -3$$ * Если $$p = 4$$, то $$2p - 9 = -1$$ * Если $$p = 5$$, то $$2p - 9 = 1$$ * Если $$p = 6$$, то $$2p - 9 = 3$$ * Если $$p = 7$$, то $$2p - 9 = 5$$ * Если $$p = 8$$, то $$2p - 9 = 7$$ * Если $$p = 9$$, то $$2p - 9 = 9 Как видим, положения кузнечика принимают значения от -9 до 9 с шагом 2. Таким образом, все возможные положения: -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9. Всего получается 10 различных точек. Ответ: 10