Квадрат со стороной 8 см описан около окружности. Найти площадь прямоугольного треугольника с острым углом 30 градусов, вписанного в окружность.

Давай решим эту задачу вместе. Сначала разберемся с тем, что нам дано и что нужно найти.

1. Квадрат и окружность: У нас есть квадрат, описанный около окружности. Это значит, что окружность касается каждой стороны квадрата изнутри. Сторона квадрата равна 8 см.
2. Прямоугольный треугольник: В эту же окружность вписан прямоугольный треугольник, один из острых углов которого равен 30 градусам.
3. Задача: Нам нужно найти площадь этого прямоугольного треугольника.

Решение:

1. Найдем радиус окружности: Так как квадрат описан около окружности, диаметр окружности равен стороне квадрата. Следовательно, диаметр окружности равен 8 см, а радиус равен половине диаметра: $$R = \frac{8}{2} = 4$$ см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Пусть наш прямоугольный треугольник — это $$\triangle ABC$$, где $$\angle C = 90^\circ$$ и $$\angle A = 30^\circ$$. Тогда $$\angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$.
3. Свойство вписанного угла: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Так как $$\triangle ABC$$ вписан в окружность и $$\angle C = 90^\circ$$, то сторона $$AB$$ является диаметром окружности. Значит, $$AB = 2R = 8$$ см.
4. Найдем катеты треугольника: Используем тригонометрические функции для углов в прямоугольном треугольнике.
   • Катет $$BC$$, лежащий против угла $$A$$ (30 градусов), равен половине гипотенузы $$AB$$: $$BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$$ см.
   • Катет $$AC$$ можно найти, используя теорему Пифагора, либо через тригонометрические функции. Например, используя косинус угла $$A$$: $$AC = AB \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$ см.
5. Вычислим площадь треугольника: Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3}$$ кв. см.

Ответ:

Площадь прямоугольного треугольника равна $$8\sqrt{3}$$ квадратных сантиметров.