Квадратный оконный проём образован двумя прямоугольными рамами. Внутри каждой из них написали число, равное периметру рамы (рис. 4.29). Найдите сторону квадрата оконного проёма.

Решение:

Пусть сторона квадрата оконного проёма равна \( a \).

1. Квадрат разделен на две прямоугольные рамы. Внутри каждой рамы написано число, равное периметру рамы.
2. Из рисунка 4.29 видно, что внутри каждой рамы написано число 7 и 8. Это периметры двух прямоугольных рам, из которых состоит квадрат.
3. Так как рамы прямоугольные, то их периметры равны \( 2(длина + ширина) \).
4. Пусть одна рама имеет размеры \( x \) и \( y \). Тогда \( 2(x + y) = 7 \) или \( 2(x + y) = 8 \).
5. Однако, квадратный проём разделен на две прямоугольные рамы, что означает, что они имеют общую сторону.
6. Рассмотрим возможные варианты расположения рам. Если квадрат разделен пополам, то одна рама имеет размеры \( a \times \frac{a}{2} \) и другая \( a \times \frac{a}{2} \). Периметр каждой такой рамы равен \( 2(a + \frac{a}{2}) = 2(\frac{3a}{2}) = 3a \).
7. Если \( 3a = 7 \), то \( a = \frac{7}{3} \). Если \( 3a = 8 \), то \( a = \frac{8}{3} \).
8. Если квадрат разделен по другому, например, на две части разного размера, и числа 7 и 8 - это периметры этих частей.
9. Рассмотрим случай, когда квадрат разделен вертикальной линией, и рамы имеют размеры \( x_1 \times a \) и \( x_2 \times a \), где \( x_1 + x_2 = a \). Периметры будут \( 2(x_1 + a) = 7 \) и \( 2(x_2 + a) = 8 \).
10. Из первого уравнения: \( x_1 + a = 3.5 \) \( \Rightarrow x_1 = 3.5 - a \).
11. Из второго уравнения: \( x_2 + a = 4 \) \( \Rightarrow x_2 = 4 - a \).
12. Подставим в \( x_1 + x_2 = a \): \( (3.5 - a) + (4 - a) = a \).
13. \( 7.5 - 2a = a \).
14. \( 7.5 = 3a \).
15. \( a = \frac{7.5}{3} = 2.5 \).
16. Проверим: \( x_1 = 3.5 - 2.5 = 1 \), \( x_2 = 4 - 2.5 = 1.5 \). \( x_1 + x_2 = 1 + 1.5 = 2.5 \). Это соответствует \( a \).
17. Тогда периметры будут: \( 2(1 + 2.5) = 2(3.5) = 7 \) и \( 2(1.5 + 2.5) = 2(4) = 8 \).
18. Эта конфигурация подходит.

Ответ: Сторона квадрата оконного проёма равна 2.5.