Квадратный трёхчлен разложен на множители: $$2x^2 - 13x + 15 = 2(x - 6)(x - p)$$. Найдите $$p$$.

Здравствуйте, ребята! Давайте решим эту задачу вместе. **1. Раскроем скобки в правой части уравнения:** $$2(x - 6)(x - p) = 2(x^2 - px - 6x + 6p) = 2x^2 - 2px - 12x + 12p = 2x^2 - (2p + 12)x + 12p$$ **2. Сравним коэффициенты при $$x$$ и свободные члены в обеих частях уравнения:** Мы имеем уравнение: $$2x^2 - 13x + 15 = 2x^2 - (2p + 12)x + 12p$$ Сравнивая коэффициенты при $$x$$, получаем: $$-13 = -(2p + 12)$$ Сравнивая свободные члены, получаем: $$15 = 12p$$ **3. Решим уравнение относительно $$p$$:** Возьмем первое уравнение: $$-13 = -(2p + 12)$$. $$13 = 2p + 12$$ $$2p = 13 - 12$$ $$2p = 1$$ $$p = \frac{1}{2}$$ Теперь возьмем второе уравнение: $$15 = 12p$$. $$p = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$$ Поскольку у нас получились разные значения для $$p$$, посмотрим внимательно на условие. **4. Правильный метод решения:** Давайте попробуем разложить квадратный трехчлен $$2x^2 - 13x + 15$$ на множители. $$2x^2 - 13x + 15 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $$2x^2 - 13x + 15 = 0$$. Дискриминант $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 169 - 120 = 49$$. Корни: $$x_1 = \frac{13 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 7}{4} = \frac{20}{4} = 5$$ и $$x_2 = \frac{13 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$. Тогда, $$2x^2 - 13x + 15 = 2(x - 5)(x - \frac{3}{2})$$. Теперь сравним это с $$2(x - 6)(x - p)$$. Очевидно, что в условии опечатка. Должно быть: $$2x^2 - 13x + 15 = (x - 5)(2x - 3)$$. Предположим, что в условии вместо $$2x^2-13x+15 = 2(x-6)(x-p)$$ должно быть $$2x^2-13x+15 = 2(x-\frac{3}{2})(x-5)$$. В этом случае $$p = 5$$. Или, если должно быть $$2x^2 - 13x + 15 = 2(x - 6)(x - p)$$, то должно быть $$2x^2 - 13x + 15 = 2(x-\frac{3}{2})(x-5)$$, а значит, что в условии ошибка. Если принять, что дано $$2x^2 - 13x + 15 = 2(x - \frac{3}{2})(x - 5)$$, тогда $$p = 5$$. Давайте проверим, если $$p=5$$: $$2(x - 6)(x - 5) = 2(x^2 - 5x - 6x + 30) = 2(x^2 - 11x + 30) = 2x^2 - 22x + 60
eq 2x^2 - 13x + 15$$. Поэтому, скорее всего, в условии опечатка. Если же исходить из того, что $$15=12p$$, то $$p=\frac{15}{12} = \frac{5}{4}$$. Тогда должно быть $$2x^2 - 13x + 15 = 2(x - a)(x - \frac{5}{4})$$. **Ответ:** Вероятнее всего, в условии опечатка. Если $$15 = 12p$$, то $$p = \frac{5}{4}$$. Но наиболее вероятно, что $$p=5$$ при условии, что дано разложение $$2x^2 - 13x + 15 = 2(x-\frac{3}{2})(x-5)$$. Если $$2x^2 - 13x + 15 = 2(x - 6)(x - p)$$, то $$p = \frac{5}{4}$$, если брать равенство свободных членов $$15 = 12p$$. Если предположить, что опечатка в 6, и там должно быть 5, тогда $$p = \frac{3}{2}$$. **Итак, наиболее вероятный ответ: $$p = \frac{5}{4}$$** Развернутый ответ: Для решения этой задачи необходимо разложить квадратный трехчлен на множители и сравнить полученное выражение с заданным в условии. Раскладывая $$2x^2 - 13x + 15$$ на множители, мы получаем $$2(x - 5)(x - \frac{3}{2})$$. Сравнивая это с $$2(x - 6)(x - p)$$, видно, что условие содержит опечатку, так как прямым сравнением невозможно найти значение $$p$$. Однако, если предположить, что равенство $$15 = 12p$$ верно, то $$p = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$$. В реальной задаче, скорее всего, подразумевалось другое разложение, но с учетом предоставленной информации, наиболее вероятный ответ: $$p = \frac{5}{4}$$.