\(\left\(4\frac{2}{3}-\frac{5}{9}\right\):2\(\frac{4}{7}\)+\(\left\)\(2\frac{1}{7}+1\frac{2}{3}\right\)

Решение:

1. Выполним вычитание в первых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 9 — это 9.
• \( 4\frac{2}{3} = 4\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = 4\frac{6}{9} \)
• \( 4\frac{6}{9} - \frac{5}{9} = 4\frac{1}{9} \)
• Переведем смешанное число в неправильную дробь: \( 4\frac{1}{9} = \frac{4 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{37}{9} \)
• Переведем делитель \( 2\frac{4}{7} \) в неправильную дробь: \( 2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{14+4}{7} = \frac{18}{7} \)
• Выполним деление:
• \( \frac{37}{9} : \frac{18}{7} = \frac{37}{9} \cdot \frac{7}{18} = \frac{37 \cdot 7}{9 \cdot 18} = \frac{259}{162} \)
• Выполним сложение во вторых скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 3 — это 21.
• \( 2\frac{1}{7} = 2\frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = 2\frac{3}{21} \)
• \( 1\frac{2}{3} = 1\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = 1\frac{14}{21} \)
• \( 2\frac{3}{21} + 1\frac{14}{21} = (2+1) + (\frac{3}{21} + \frac{14}{21}) = 3 + \frac{17}{21} = 3\frac{17}{21} \)
• Переведем смешанное число в неправильную дробь: \( 3\frac{17}{21} = \frac{3 \cdot 21 + 17}{21} = \frac{63+17}{21} = \frac{80}{21} \)
• Выполним сложение результатов:
• \( \frac{259}{162} + \frac{80}{21} \)
• Найдем общий знаменатель для 162 и 21. \( 162 = 2 \cdot 3^4 \), \( 21 = 3 \cdot 7 \). Общий знаменатель: \( 2 \cdot 3^4 \cdot 7 = 162 \cdot 7 = 1134 \)
• \( \frac{259}{162} = \frac{259 \cdot 7}{162 \cdot 7} = \frac{1813}{1134} \)
• \( \frac{80}{21} = \frac{80 \cdot 54}{21 \cdot 54} = \frac{4320}{1134} \)
• \( \frac{1813}{1134} + \frac{4320}{1134} = \frac{1813+4320}{1134} = \frac{6133}{1134} \)

Ответ: \(\frac{6133}{1134}\)