389. Лежат ли точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ на одной прямой, если они симметричны точкам $$A$$, $$B$$, $$C$$ относительно некоторой прямой и известно, что: а) $$AB = 2$$ дм, $$AC = 10$$ дм, $$BC = 80$$ см; б) $$AB = 1,1$$ см, $$B_1C_1 = 5$$ см, $$CA = 6$$ см?

Для того чтобы точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника для отрезков, соединяющих эти точки. Другими словами, сумма длин двух любых отрезков должна быть больше длины третьего отрезка.

а) Переведем все длины в одну единицу измерения, например, в сантиметры. Тогда $$AB = 2$$ дм = $$20$$ см, $$AC = 10$$ дм = $$100$$ см, $$BC = 80$$ см.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника для точек $$A$$, $$B$$, $$C$$:

• $$AB + BC = 20 + 80 = 100 = AC$$

Так как сумма двух сторон равна третьей стороне, точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ лежат на одной прямой. Поскольку точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ симметричны точкам $$A$$, $$B$$, $$C$$ относительно некоторой прямой, они также лежат на одной прямой.

б) Дано: $$AB = 1,1$$ см, $$B_1C_1 = 5$$ см, $$CA = 6$$ см.

Здесь необходимо учитывать, что если точки $$A_1, B_1, C_1$$ симметричны точкам $$A, B, C$$ относительно некоторой прямой, то расстояния между соответствующими точками сохраняются. Значит, $$A_1B_1 = AB = 1,1$$ см, $$A_1C_1 = AC = 6$$ см. Также дано $$B_1C_1 = 5$$ см.

Проверим неравенство треугольника для точек $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$:

• $$A_1B_1 + B_1C_1 = 1,1 + 5 = 6,1 > A_1C_1 = 6$$
• $$A_1B_1 + A_1C_1 = 1,1 + 6 = 7,1 > B_1C_1 = 5$$
• $$B_1C_1 + A_1C_1 = 5 + 6 = 11 > A_1B_1 = 1,1$$

Так как неравенство треугольника выполняется, точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ не лежат на одной прямой.