Лежат точки A₁, B₁, C₁ на одной прямой, если они симметричны точкам A, B, C относительно некоторой прямой, и известно, что: а) AB = 2 дм, AC = 10 дм, BC = 80 см; б) AB = 1,1 см, B₁C₁ = 5 см, CA = 6 см?

При осевой симметрии сохраняются расстояния. Поэтому для соответствующих точек выполняется равенство AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, CA = C₁A₁. Точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда исходные точки A, B, C лежат на одной прямой.

а) Переведём величины в сантиметры: AB = 20 см, AC = 100 см, BC = 80 см. Так как AB + BC = AC, точки A, B, C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Следовательно, A₁, B₁, C₁ также лежат на одной прямой.

б) По симметрии AB = A₁B₁ = 1,1 см и BC = B₁C₁ = 5 см, а CA = 6 см. Для трёх точек на одной прямой одна из дистанций должна равняться сумме двух других. Здесь ни 1,1 + 5 = 6, ни 1,1 + 6 = 5, ни 5 + 6 = 1,1 не выполняется. Значит, точки A, B, C, а следовательно, и A₁, B₁, C₁ не лежат на одной прямой.

Ответ: а) лежат; б) не лежат.