2) lim ctg2x x→0+0 ln x .

Ответ: 0

Шаг 1: Анализируем поведение функций.

При x → 0+:

• ctg(2x) = cos(2x)/sin(2x) стремится к +∞
• ln(x) стремится к -∞

Шаг 2: Перепишем предел в виде:

\[\lim_{x \to 0+} \frac{\cot 2x}{\ln x} = \lim_{x \to 0+} \frac{\frac{\cos 2x}{\sin 2x}}{\ln x} = \lim_{x \to 0+} \frac{\cos 2x}{\sin 2x \cdot \ln x}\]

Шаг 3: Рассмотрим числитель и знаменатель:

• Числитель cos(2x) стремится к 1.
• Знаменатель sin(2x) стремится к 0, а ln(x) стремится к -∞.
• Произведение sin(2x) \(\cdot\) ln(x) стремится к 0 \(\cdot\) (-∞), что является неопределенностью.

Шаг 4: Применим правило Лопиталя (хотя и не напрямую, так как предел не имеет вид 0/0 или ∞/∞).

Однако, мы можем преобразовать выражение:

\[\lim_{x \to 0+} \frac{\cot 2x}{\ln x} = \lim_{x \to 0+} \frac{\frac{1}{\tan 2x}}{\ln x} = \lim_{x \to 0+} \frac{1}{\tan 2x \cdot \ln x}\]

Так как tan(2x) эквивалентно 2x при x → 0, то:

\[\lim_{x \to 0+} \frac{1}{2x \cdot \ln x}\]

Шаг 5: Оценим предел.

При x → 0+ произведение x \(\cdot\) ln(x) стремится к 0, но медленнее, чем x. Таким образом, все выражение стремится к 0.

Точнее, lim (x->0+) xlnx = 0, следовательно предел равен 0.

Ответ: 0