5. 1) lim ex - x - cos 2x x→0 sin(x²) ;

Ответ: 3

Шаг 1: Разложим функции в ряд Тейлора в окрестности x = 0.

\[e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)\] \[\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} + O(x^6) = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + O(x^6)\] \[\sin(x^2) = x^2 - \frac{(x^2)^3}{3!} + O(x^{10}) = x^2 - \frac{x^6}{6} + O(x^{10})\]

Шаг 2: Подставим разложения в предел.

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - \cos 2x}{\sin(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}) - x - (1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4)}{x^2 - \frac{x^6}{6}}\]

Шаг 3: Упростим выражение.

\[\lim_{x \to 0} \frac{1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - x - 1 + 2x^2 - \frac{2}{3}x^4}{x^2 - \frac{x^6}{6}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{2}x^2 + \frac{x^3}{6} - \frac{2}{3}x^4}{x^2 - \frac{x^6}{6}}\]

Шаг 4: Разделим на x².

\[\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{2} + \frac{x}{6} - \frac{2}{3}x^2}{1 - \frac{x^4}{6}}\]

Шаг 5: Вычислим предел.

\[\lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{2} + \frac{x}{6} - \frac{2}{3}x^2}{1 - \frac{x^4}{6}} = \frac{\frac{5}{2}}{1} = \frac{5}{2}\]

Шаг 6: Используем правило Лопиталя.

\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - \cos 2x}{\sin x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 + 2\sin 2x}{2x\cos x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 4\cos 2x}{2\cos x^2 - 4x^2\sin x^2} = \frac{1+4}{2} = \frac{5}{2}\]

Ответ: 5/2