Линейная функция 7 класс .2. Постройте график функции y = { 1,5x - 3 при x < 2, -1,5x + 3 при 2≤x≤3, 3x - 10,5 при x > 3. } Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Привет! Давай разберемся с этим графиком кусочной функции. Поехали!

1. Строим график:

Для каждого участка функции найдем несколько точек:

• Для y = 1,5x - 3 (при x < 2):
  • Берем точку, близкую к 2, например, x = 1. y = 1,5 * 1 - 3 = -1,5. Точка (1, -1.5).
  • Возьмем x = 0. y = 1,5 * 0 - 3 = -3. Точка (0, -3).

  Рисуем луч, проходящий через эти точки, но останавливаемся перед x = 2.

• Для y = -1,5x + 3 (при 2 ≤ x ≤ 3):
  • При x = 2: y = -1,5 * 2 + 3 = -3 + 3 = 0. Точка (2, 0).
  • При x = 3: y = -1,5 * 3 + 3 = -4,5 + 3 = -1,5. Точка (3, -1.5).

  Рисуем отрезок между (2, 0) и (3, -1.5).

• Для y = 3x - 10,5 (при x > 3):
  • Берем точку, близкую к 3, например, x = 4. y = 3 * 4 - 10,5 = 12 - 10,5 = 1,5. Точка (4, 1.5).
  • Возьмем x = 5. y = 3 * 5 - 10,5 = 15 - 10,5 = 4,5. Точка (5, 4.5).

  Рисуем луч, начинающийся от x = 3 (но не включая его) и проходящий через эти точки.

2. Определяем значения m:

Теперь ищем, где горизонтальная линия y = m будет пересекать наш график ровно два раза.

Рассмотрим получившийся график:

• Если m = 0, прямая y = 0 пересекает график в точке (2, 0) и где-то на третьем участке (3x - 10.5 = 0 => x = 3.5). То есть в двух точках.
• Если m находится между 0 и -1,5 (т.е. -1,5 < m < 0), прямая y = m будет пересекать график в двух точках: одну на первом луче и одну на отрезке.
• Если m = -1,5, прямая y = -1,5 пересекает график в точке (3, -1.5) и где-то на первом участке (1.5x - 3 = -1.5 => 1.5x = 1.5 => x = 1). То есть в двух точках.
• Если m < -1,5, прямая y = m будет пересекать только первый луч, то есть в одной точке.
• Если m > 1,5, прямая y = m будет пересекать только третий луч, то есть в одной точке.
• Если 0 < m < 1,5, прямая y = m будет пересекать первый и третий лучи, то есть в двух точках.

Итак, две общие точки получаются, когда y находится в интервале (-1,5; 0] или когда y > 1,5. Или, если объединить, то m ∈ (-1,5; 0] ∪ (1,5; ∞).

Ответ: m ∈ (-1,5; 0] ∪ (1,5; ∞)